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word第一章 绪论 误差来源:模型误差、观测误差、截断误差方法误差、舍入误差是的绝对误差,是的误差,为的绝对误差限或误差限为 的相对误差,当较小时,令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为: 即:绝对误差有量纲,而相对误差无量纲假如近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位,如此称近似值有n位有效数字,或说准确到该位。例:设x=那么,如此有效数字为1位,即个位上的3,或说准确到个位。科学计数法:记有n位有效数字,准确到。由有效数字求相对误差限:设近似值有n位有效数字,如此其相对误差限为由相对误差限求有效数字:设近似值的相对误差限为为如此它有n位有效数字令1. x+y近似值为和的误差限等于误差限的和2. x-y近似值为3. xy近似值为4.1防止两相近数相减2防止用绝对值很小的数作除数3防止大数吃小数4尽量减少计算工作量第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) 0,有根区间为 (a, b),从x0=a出发, 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨,每跨一步进展一次根的搜索,即判别f(xk)=f(a+kh)的符号,假如f(xk)0(而f(xk-1)0),如此有根区间缩小为xk-1,xk (假如f(xk)=0,xk即为所求根), 然后从xk-1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|xk-xk-1|E为止,此时取x*(xk+xk-1)/2作为近似根。2.二分法设f(x)的有根区间为a,b= a0,b0, f(a)0.将a0,b0对分,中点x0= (a0+b0)/2),计算f(x0)。3.比例法一般地,设 ak,bk为有根区间,过(ak, f(ak)、 (bk, f(bk)作直线,与x轴交于一点xk,如此:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列递推公式,使该点列收敛到方程的根。这正是迭代法的根本思想。事先估计:事后估计局部收敛性判定定理: 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必须选在准确解的附近Steffensen迭代格式:Newton法:Newton下山法:是下山因子弦割法:抛物线法:令其中:如此: 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点根 x* 设 ek = xk-x*假如如此称该迭代为p不小于1阶收敛,其中 C(不为0)称为渐进误差常数第三章 解线性方程组直接法列主元LU分解法:计算主元选主元 对于Ax=b,三角分解A=LU,Doolittle分解:L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵;Crout分解:L为下三角矩阵,U为单位上矩阵。可分解为:假如利用紧凑格式可化为:Cholesky平方根法:系数矩阵A必须对称正定改良Cholesky分解法:其中:追赶法:Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y 向量数:矩阵数:谱半径:收敛条:谱半径小于1条件数:第章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代:基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:迭代收敛:谱半径小于1,数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代SOR: 当=1时,就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代加权平均。第五章 插值法 Lagrange插值法:构造插值函数: 如此: 假如记: 如此可改为: 如此插值余项: 逐次线性插值法Aitken 埃特金法: Newton插值法: N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示: 差商与导数的关系: 如此: 等距节点Newton插值公式: Newton向前插值: 余项: Newton向后插值: 余项: Hermite插值: 插值余项: 待定系数: 三次样条插值:三弯矩构造法 记 对于附加弯矩约束条件: 对于附加转角边界条件: 对于附加周期性边界条件: 上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章 函数逼近与曲线拟合 主要求法方程第七章 数值积分与数值微分 求积公式具有m次代数精度的充要条件: 插值型求积公式 Newton-Cotes等分 梯形求积公式n=1,具有1次代数收敛精度 误差公式: 抛物型求积公式Simpson求积公式,n=2,具有3次代数收敛精度 误差公式 Newton求积公式Simpon3/8法如此 具有3次代数收敛精度 Cotes求积公式n=4,具有5次收敛精度 误差公式 节点数为奇数时,代数精度为n;为偶数时,代数精度为n+1。代数精度都是奇数。 复化梯形求积公式: 截断误差: 复化Simpson公式: 截断误差: 复化Cotes求积: 截断误差: 假如一个复化积分公式的误差满足 且C 0,如此称该公式是 p阶收敛的。 复化求积公式需要2n+1个求积节点 Romberg求积算法: 复化梯形求积公式: 复化Cotes求积公式: Gauss型求积公式: 积公式: 截断误差: 高斯求积公式代数精度为2n+1 Gauss-Legendre求积公式注意区间-1,1,变换可得:形如:求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出,亦可由下式求得: 截断误差: Gauss-Chebyshev求积公式:形如: 求积系数:(必为正) 截断误差: Gauss-Laguerre求积公式:形如: 求积系数: 截断误差: Gauss-Hermite求积公式:形如: 求积系数: 截断误差: 三点数值微分公式: 泰勒级数展开:第八章 常微分方程求解 Euler法:为一阶法f(x,y)为y的导数 梯形方法改良Euler法: 四级四阶经典Runge-Kutta公式 /
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