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厦门演艺职业学院高职招考数学模拟试题(附答案解析)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的.1复数的值是( )A1 B1 C32 D322tan15+cot15的值是( )A2 B2+ C4 D3命题p:若a、bR,则|a|+|b|1是|a+b|1的充足而不必要条件; 命题q:函数y=的定义域是(,13,+.则( )A“p或q”为假 B“p且q”为真 Cp真q假 Dp假q真4已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若ABF2是真正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A B C D5已知m、n是不重叠的直线,、是不重叠的平面,有下列命题:若m,n,则mn;若m,m,则;若=n,mn,则m且m;若m,m,则.其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D36某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )A B C D7已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x),则函数y= f1(1x)的图象是( ) 8已知a、b是非零向量且满足(a2b) a,(b2a) b,则a与b的夹角是( )A B C D9若(1-2x)9展开式的第3项为288,则的值是( )A2 B1 C D10如图,A、B、C是表面积为48的球面上三点,AB=2,BC=4,ABC=60,O为球心,则直线OA与截面ABC所成的角是( )AarcsinBarccosCarcsinDarccos11定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,5时,f(x)=2|x4|,则( )Af(sin)f(cos1)Cf(cos)f(sin2)12如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30方向2 km处,河流的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货品.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A(22)a万元B5a万元C(2+1) a万元D(2+3) a万元第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.13直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于 . (x0),14设函数f(x)= a (x=0). 在x=0处持续,则实数a的值为 .15某射手射击1次,击中目的的概率是0.9.她持续射击4次,且各次射击与否击中目的互相之间没有影响.有下列结论:她第3次击中目的的概率是0.9;她正好击中目的3次的概率是0.930.1;她至少击中目的1次的概率是1-0.14.其中对的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号).16如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一种全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字阐明,证明过程或演算环节.17(本小题满分12分)设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),xR.()若f(x)=1且x,求x;()若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.18(本小题满分12分)甲、乙两人参与一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.()求甲答对试题数的概率分布及数学盼望;()求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19(本小题满分12分)在三棱锥SABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.()证明:ACSB;()求二面角NCMB的大小;()求点B到平面CMN的距离.20(本小题满分12分)某公司的纯利润为500万元,因设备老化等因素,公司的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该公司一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的状况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数).()设从今年起的前n年,若该公司不进行技术改造的合计纯利润为An万元,进行技术改造后的合计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的体现式;()依上述预测,从今年起该公司至少通过多少年,进行技术改造后的合计纯利润超过不进行技术改造的合计纯利润?21(本小题满分14分) 已知f(x)=(xR)在区间1,1上是增函数.()求实数a的值构成的集合A;()设有关x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:与否存在实数m,使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立?若存在,求m的取值范畴;若不存在,请阐明理由.22(本小题满分12分)如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.()若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;()若直线l但是原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范畴.参照答案及解析一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、134 14.1/2 15.1,3 16.2/3 三、17. 本小题重要考察平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考察运算能力.满分12分.解:()依题设,f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1,得sin(2 x +)=.-x,-2x+,2x+=-,即x=-.()函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(xm)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.由()得 f(x)=2sin2(x+)+1.|m|,m=-,n=1.18.本小题重要考察概率记录的基本知识,运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解:()依题意,甲答对试题数的概率分布如下:0123P甲答对试题数的数学盼望E=0+1+2+3=.()设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)=,P(B)=.由于事件A、B互相独立,措施一:甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=1)(1)=.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1P()=1=.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.措施二:甲、乙两人至少有一种考试合格的概率为P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.19.本小题重要考察直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基本知识,考察空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一:()取AC中点D,连结SD、DB.SA=SC,AB=BC,ACSD且ACBD,AC平面SDB,又SB平面SDB,ACSB.()AC平面SDB,AC平面ABC,平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E,NE平面ABC,过E作EFCM于F,连结NF,则NFCM.NFE为二面角NCMB的平面角.平面SAC平面ABC,SDAC,SD平面ABC. 又NE平面ABC,NESD.SN=NB,NE=SD=,且ED=EB.在正ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,在RtNEF中,tanNFE=2,二面角NCMB的大小是arctan2.()在RtNEF中,NF=,SCMN=CMNF=,SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h,VB-CMN=VN-CMB,NE平面CMB,SCMNh=SCMBNE,h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二:()取AC中点O,连结OS、OB.SA=SC,AB=BC,ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC,SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A(2,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),S(0,0,2),M(1,0),N(0,).=(4,0,0),=(0,2,2),=(4,0,0)(0,2,2)=0,ACSB.()由()得=(3,0),=(1,0,).设n=(x,y,z)为平面CMN的一种法向量, n=3x+y=0,则 取z=1,则x=,y=-,n=x+z=0,n=(,1),又=(0,0,2)为平面ABC的一种法向量, cos(n,)=.二面角NCMB的大小为arccos.()由()()得=(1,0),n=(,1)为平面CMN的一种法向量,点B到平面CMN的距离d=.20.本小题重要考察建立函数关系式、数列求和、不等式的等基本知识,考察运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:()依题设,An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2;Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.()BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.由于函数y=x(x+1) 10在(0,+)上为增函数,当1n3时,n(n+1) 10121
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