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几何综合题1.已知ABC中,AD是的平分线,且AD=AB, 过点C作AD的垂线,交 AD的延长线于点H (1)如图1,若直接写出和的度数;若AB=2,求AC和AH的长; (2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明答案:(1),;作DEAC交AC于点E.RtADE中,由,AD=2可得DE=1,AE.RtCDE中,由,DE=1,可得EC=1.AC.RtACH中,由,可得AH;(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系:2AH=AB+AC证明:延长AB和CH交于点F,取BF中点G,连接GH.易证ACHAFH.,., . . .2.正方形的边长为,将射线绕点顺时针旋转,所得射线与线段交于点,作于点,点与点关于直线对称,连接(1)如图,当时,依题意补全图用等式表示与之间的数量关系:_(2)当时,探究与之间的数量关系并加以证明(3)当时,若边的中点为,直接写出线段长的最大值答案:(1)补全的图形如图7所示NCE=2BAM(2)当4590时, 证明:如图8,连接CM,设射线AM与CD的交点为H 四边形ABCD为正方形,BAD=ADC=BCD=90,直线BD为正方形ABCD的对称轴,点A与点C关于直线BD对称 射线AM与线段BD交于点M, BAM=BCM= 1=2= CEAM, CEH=90,3+5=90又1+4=90,4=5, 1=3 3=2= 点N与点M关于直线CE对称, NCE=MCE=2+3=(3)3. 如图,已知,点为射线上的一个动点,过点作,交于点,点在内,且满足,.(1)当时,求的长;(2)在点的运动过程中,请判断是否存在一个定点,使得的值不变?并证明你的判断. 答案:(1)作交于.,.,.(2)当点在射线上且满足时,的值不变,始终为1.理由如下: 当点与点不重合时,延长到使得.,.,是公共边,. 作于,于.,.,,四边形为矩形.,.,.,即.当点与点重合时,由上过程可知结论成立.4. 如图,在菱形ABCD中,DAB=60,点E为AB边上一动点(与点A,B不重合),连接CE,将ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心,顺时针旋转120,分别交射线AD于点F,G.(1)依题意补全图形;(2)若ACE=,求AFC 的大小(用含的式子表示);(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明答案:(1)补全的图形如图所示.(2)解:由题意可知,ECF=ACG=120.FCG=ACE=.四边形ABCD是菱形,DAB=60,DAC=BAC= 30.AGC=30.AFC=+30.(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为.证明:作CHAG于点H.由(2)可知BAC=DAC=AGC=30.CA=CG.HG =AG.ACE =GCF,CAE =CGF,ACEGCF.AE =FG.在RtHCG中,AG=CG.即AF+AE=CG.5.如图,RtABC中,ACB = 90,CA = CB,过点C在ABC外作射线CE,且BCE = ,点B关于CE的对称点为点D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CE于点M,N.(1)依题意补全图形;(2)当= 30时,直接写出CMA的度数;(3)当0 45时,用等式表示线段AM,CN之间的数量关系,并证明答案:(1)如图;(2)45;(3)结论:AM=CN证明:作AGEC的延长线于点G点B与点D关于CE对称,CE是BD的垂直平分线CB=CD1=2=CA=CB,CA=CD3=CAD4=90,3=(180ACD)=(18090)=455=2+3=+45-=454=90,CE是BD的垂直平分线,1+7=90,1+6=906=7 AGEC,G=90=8 在BCN和CAG中,8=G,7=6, BC=CA,BCNCAGCN=AG RtAMG中,G=90,5=45,AM=AG AM=CN 6.在正方形ABCD中,M是BC边上一点,点P在射线AM上,将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ,连接BP,DQ(1)依题意补全图1;图1 备用图(2)连接,若点P,Q,D恰好在同一条直线上,求证:; 若点P,Q,C恰好在同一条直线上,则BP与AB的数量关系为:答案:(1)补全图形略图2(2)证明: 连接,如图2,线段绕点顺时针旋转90得到线段,四边形是正方形,在中,在中, 又,7.如图,在等腰直角ABC中,CAB=90,F是AB边上一点,作射线CF,过点B作BGCF于点G,连接AG (1)求证:ABG=ACF;(2)用等式表示线段CG,AG,BG之间 的等量关系,并证明答案:(1)证明: CAB=90. BGCF于点G, BGF=CAB=90. GFB=CFA. ABG=ACF. (2)CG=AG+BG.证明:在CG上截取CH=BG,连接AH, ABC是等腰直角三角形, CAB=90,AB=AC. ABG=ACH. ABGACH. AG =AH,GAB=HAC. GAH=90. . GH=AG. CG=CH+GH=AG+BG. 8.如图,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使BF=BE,过点F作FHAE于点H,射线FH分别交AB、CD于点M、N,交对角线AC于点P,连接AF(1)依题意补全图形;(2)求证:FAC=APF;(3)判断线段FM与PN的数量关系,并加以证明答案:(1)补全图如图所示(2)证明正方形ABCD,BAC=BCA=45,ABC=90,PAH=45-BAEFHAEAPF=45+BAEBF=BE,AF=AE,BAF=BAEFAC=45+BAFFAC=APF(3)判断:FM=PN 证明:过B作BQMN交CD于点Q,MN=BQ,BQAE正方形ABCD,AB=BC,ABC=BCD=90BAE=CBQABEBCQAE=BQAE=MNFAC=APF,AF=FPAF=AE,AE=FPFP=MNFM=PN9.如图所示,点P位于等边的内部,且ACP=CBP(1) BPC的度数为_;(2) 延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD依题意,补全图形;证明:AD+CD=BD;(3) 在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积解:(1)120. -2分D(2)如图1所示.在等边中,为等边三角形.在和中,.-4分(3)如图2,作于点,延长线于点.又由(2)得,-7分10.如图1,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,使得点A的对应点E落在射线BC上,连接BQ,设DAQ=(060且30).(1)当030时,在图1中依题意画出图形,并求BQE(用含的式子表示);探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;(2)当3060时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系. 图1备用图解:(1) 1分 0 2分(2)设直线与x轴,y轴的交点分别为点A,点B,可得, ,由0,作直线如图13,当D与x轴相切时,相应的圆心满足题意,其横坐标取到最大值作轴于点,可得OB, D的半径为1,图13 , 如图14,当D与直线相切时,相应的圆心满足题意,其横坐标取到最小值作轴于点,则OA图14设直线与直线的交点为F可得,OFAB则 D的半径为1, , 由可得,的取值范围是 5分图15(3)画图见图15 7分11.如图,在等边中,分别是边上的点,且 ,,点与点关于对称,连接,交于.(1)连接,则之间的数量关系是;(2)若,求的大小; (用的式子表示)(3)用等式表示线段和之间的数量关系,并证明.(1);(2)解:连接,是等边三角形,.,.点与点关于对称,.由(1)知.,在以为圆心,为半径的圆上. (3).理由如下: 连接,延长,交于点,是等边三角形,.点与点关于对称,.设,则. 由(2)知.,.四边形中,.是等边三角形.
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