占八、2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学、单项选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)2_.x ax b & 3 5则常数 a, bA、a2, b2、A、3、1,B、 a 2,C、 a1, bD、已知函数f (x)x23x 2x，则 x2为f(x)的跳跃间断点设函数f(x)B、可去间断点Q 1x sin , xB、0、无穷间断点、震荡间断0处可导，则常数的取值范围为F(x)ln(3x6x 4C12x 8D、1)1-2D、是函数f (x)C 6x 412x 8f (2x1)dx( )A、条件收敛日绝对收敛C 、发散 D 、敛散性与有关二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)x7、已知lim()x 2,则常数C.x x C 2x t,8、设函数 (x) te dt ,则 (x) =.9、已知向量a (1,0, 1), b (1, 2,1),则a b与a的夹角为 2Z10、设函数z z(x, y)由万程xz yz 1所确定，则 一 =.x,，一an . 1.,11、若募函数xn(a 0)的收敛半径为-,则常数a.n 1 n21 xdx.0 c 2 x212、微分方程(1 x2 )ydx (2 y)xdy 0 的通解为 .三、计算题(本大题共 8小题，每小题8分，满分64分)13、3求极限：lim 0 x sin x14、设函数yy(x)由参数方程ln(1 t)2 所确定，t2 2t 3,2求”.dx dx15、求不定积分:sin 2x 1dx.16、求定积分:17、求通过直线x y 1 z 2 口且垂直于平面 x32120的平面方程.18、计算二重积分yd ，其中DD(x, y)0 x2,x22y 2, x y 2.19、设函数z f (sin x, xy),其中f(x)具有二阶连续偏导数，求20、求微分方程y y x的通解.四、综合题(本大题共 2小题，每小题10分，满分20分)21、已知函数f (x) x3 3x 1,试求：(1)函数f(x)的单调区间与极值；(2)曲线y f(x)的凹凸区间与拐点；(3)函数f(x)在闭区间2, 3上的最大值与最小值.222、设D1是由抛物线y 2x和直线x a, y 0所围成的平面区域，D2是由抛物线2y 2x和直线x a, x 2及y 0所围成的平面区域，其中0 a 2.试求：(1) D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1,以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2.(2)求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等五、证明题(本大题共2小题，每小题9分，满分18分)23、已知函数f(x)ex. x 0 , 一一,，证明函数f(x)在点x 0处连续但不可导.1 x, x 024、证明：当1 x2时，4xln x x2 2x 3.2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2 、B 3 、D 6、C 7、ln、4xe2x9、103z2112xz y、2 12、lnx2lny y C13、3. x limx 0 x sin xlimx x 01 cos x6,14、1dx dt,dy (2t 2)dt1 tdydx(2t 2)dt-dt1 td2y dx2a dyddx dx4(t 1)dtdt 1 t4(t 1)2.152x 1 t, xt2 1sin . 2x 1dxsin t tdttd costt costcost dttcost16、令 x2xdx2 x2sin t C72 sin，当4 2sin20 . 2 cos17、已知直线的方向向量为2x 1 cos、2x 1sin . 2xx 0,0;当x 1,04(1cos 2 ) d1sin 2 2s0(3, 2,1),平面的法向量为n0(1,1,1).由题意，所求ijk平面的法向量可取为ns0n0(3,2,1) (1,1,1) 3 2 1(1,1 112,1).又显然点(0,1,2)在所求平面上，故所求平面方程为1(x 1)(2)( y 1) 1(z 2) 0 ,即x 2y z 0.18yd 2 sin d dDD1 _一一(8cot2、2 cos )3z - .19、一 f1 cosx f2 x2 cos .2 sin d _ d242 242z Jy ； f2 xccx y1 2 (8csc22.2 sin )d3 7f12xyf222 dx ln x 2120、积分因子为 (x) e x e Ix ”x化简原方程xy 2y x2为曳2y x. dx x1在方程两边同乘以积分因子二,得到 xdyx2dx2y3 x2化简彳导:d(x y) 1 dx x等式两边积分得到通解d(x y)dx1dx. x故通解为y x2 ln x x2C21、(1)函数f (x)的定义域为R,(x) 3x2令f (x) 0得x 1，函数f (x)的单调增区间为(1, 1,),单调减区间为1, 1,极大值为f( 1) 3,极小值为f1.(2) f (x) 6x令 f (x)0,0,曲线y f(x)在(，0上是凸的，在0,)上是凹的，点(0,1)为拐点.(3)由于f (1)3, f(1)f(3)19 ,故函数f (x)在闭区间2, 3上的最大值为f (3)19,最小值为f(1)f(2)1.22、(1)22a 2a2a2,4.,dy a . V2(2x2)2dy 1 (32 a5).A12 .232x dx a 3A222 ，一2x dx (8 3a3).由 AA2得a3 4.23、证(1)因为lim f(x)x 0lim1, lim f (x)x 0lim(xf(0) 1,所以函数f(x)在x0处连续。limx 0f(x) f(0)limx 0x lim 一x 0(0)1, f(0)f (0) f (0),所以函数f (x)在x0处不可导.24、证 令 f (x) 4xln xx2 2x 3f (x)4ln x44 2xf (x) 4 2 4x,由于当1 x 2时，f (x) 0,故函数f (x)在1,2)上单调 xx相信能就一定能而当1 x 2时，f(x)增加，从而当1 x 2时f (x) f (1) 0,于是函数f(x)在1,2)上单调增加，从f (1) 0,即当 1 x 2时，4xln x x2 2x 3