2.1 向量的概念及表示教学设计教材：数学必修4（苏教版）第2章第一课时授课教师 ： 江苏省太仓高级中学 陆庭一教学目标：（一）知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。（二）过程与方法：经历向量及相关知识的产生过程，加深对向量有关概念的理解，体验数形结合思想和分类讨论的思想。学生通过讨论、辨析、合作探究等手段，学会了认识客观事物的数学本质的能力。（三）情感、态度及价值观：借助向量材料，体验数学工具及方法的巨大威力，激发学生学习数学的兴趣。二教学重点、难点；教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。 难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物以及概念的辨析等手段来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念。三教学方法与教学手段：教学方法：自主学习、合作探究等教学手段：Starc未来教室，录播系统。教学资源：QQ作业，问卷星，扫码器，微课向量的起源，答题器，图像功能，投影仪功能等。硬件环境：Windows10系统，课件展示根据3.2.0.1126，白板工具2.5.0.0，课件制作工具3.2.0.1121，实物展台2.5.0.0。四自主学习通过QQ作业下发自主学习导学单，完成向量概念及表示的知识梳理，并提出自己在自主学习过程中遇到的困惑或者提出建议，让学生完成后拍照上传，课上展示。（导学单见附件1）五教学过程（一）展示学生自主学习成果并播放微课向量的起源。（二）情景设置问题1：老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追。猫能抓住老鼠吗？学生回答：不能。因为老鼠与猫的方向不同，无论猫的速度多大，永远追不到老鼠问题2：老鼠由A向东北方向以每秒12米的速度逃窜,而猫由A向东北方向每秒10米的速度追。猫能抓住老鼠吗？学生回答：不能。虽然方向相同，但猫的速度比老鼠速度小，所以也追不上。由此说明速度是既有大小又有方向的量，两者缺一不可。速度在物理学生中称为矢量。（三）学生活动请学生举出生活中的矢量和标量。标量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等矢量：位移、力、速度、加速度等标量在数学中只要加上长度单位，就可以用一个数表示。物理中的矢量在数学中称为向量，本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量。今天我们学习向量的概念及表示。（四）建构数学（主要通过概念的辨析让学生更深刻理解向量中的概念）1向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（vector）。强调：向量是既有大小又有方向的量，具有双重性。2向量的表示方法：A(起点) B（终点）（1）几何表示法：用有向线段是指规定起点、长度和方向的线段。用有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。思考1：有向线段就是向量吗？课本所研究的向量与有向线段是两个不同的概念。有向线段具有三要素：起点、方向、长度，而这里研究的向量只有两个要素：方向和长度（即自由向量）。所以有向线段不是向量。【设计意图】通过对有向线段和向量的比较，深入理解两者的区别和理解，特别了解向量是自由向量。（2）字母表示法；用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；用小写字母表示：、；（印刷用a，书写用）注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。练习1：温度温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。练习2：与是否为同一向量？ 答：不是同一向量。因为与方向不同。【设计意图】通过以上2个问题的辨析，加深对向量本质属性的理解，并能正确区分向量和数。3向量的有关概念（1）大小向量的模向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作|。注意：模的取值范围是一切非负数。所以向量的模可以比较大小。零向量（null vector）：长度为0的向量叫零向量，记作。 思考2：与0一样吗？答：不一样，是向量，且向量是任意的。0是数。且【设计意图】弄清与0数的区别和联系。单位向量(unit vector)：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。思考3：平面直角坐标系内，把所有的单位向量的起点移至坐标原点，它们的终点的轨迹是什么图形？Oy1x【设计意图】了解向量是自由的，当模相等的向量起点相同时，终点的轨迹是圆，更深入地理解模（不等于0）相等的向量不唯一。模为零的向量只能是零向量。（2）方向平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作/。规定：与任一向量平行。练习3 判断：若/，/，则/答：不正确。反例【设计意图】掌握分类讨论的思想，注意平行向量中对的讨论，强调的方向的任意性。说明只有非零的共线向量才有传递性。练习4： 如图直线AB与直线BC平行吗？思考4 两向量的平行与平面几何里两直线的平行有什么区别？不正确。因为两条线段的平行不包括所在直线重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线上（同向或反向）的情形。由此，得到任一组平行向量都可移到同一直线上。【设计意图】明确向量平行与直线平行的区别和联系。注意向量平行中对两向量所在的直线是否共线的讨论。共线向量(collinear vectors)：平行向量就是共线向量。C O B A= = =规定：与任一向量共线。（3）大小和方向相等向量(equal vectors)：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作=。规定：【设计意图】明确相等向量是共线向量，共线向量所在的直线可能重合。相反向量（opposite vectors）：长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量记作-。规定：-=。的相反向量仍是。说明：对于任一向量有-（-）=。与-互为相反向量 。练习5：下列命题正确的个数有_2_个（此题通过starc内置答题器完成并及时统计答题结果）OFEDCBA【设计意图】明确向量是否相等的条件，以及相等向量与相反向量、共线向量、模相等向量的关系。（五）数学应用例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：（本题通过内嵌投影仪功能展示学生成果）（1） 试找出与共线的向量（2） 确定与相等的向量（3） 确定与相反的向量答：（1）与共线的向量有。（2）与长度相等且方向相同，故。（3）与长度相等且方向相反，即【设计意图】根据图形所给的向量，明确向量相等、向量相反、共线向量之间的关系。通过例题的改编，理解线段与向量之间的关系。例2在45的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）（本例通过starc图像传输功能将学生成果展示） 解：当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量。这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等。与长度相等的共线向量（除外）共有72+1=15（个）【设计意图】根据所给的表格，灵活运用向量相等的条件，确定起点，利用平移，作出相等向量。在实践中提高学生分析问题和解决问题的能力。也为今后在坐标系中研究向量作铺垫。合作探究：（通过小组交流，让各小组将研究成果在各自的触屏上呈现出来并发送到大屏幕上）如图，以13方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？多少种不同的方向？BA分析：向量是自由向量，向量的模就是向量所对应的线段的长度，与方向无关。所以如图选定以格点A为起点的线段有6条长度不同的线段。以格点A为起点的向量的方向有52=10，以B为起点的向量的方向有52=10，其中有方向两个方向重复，所以共有20-4=16个方向。【设计意图】理解向量的本质，注意向量的模与线段大小关系。培养学生数学的应用能力和发散思维。此题对学生要求较高。（六）当堂检测（通过问卷星将试题链接转成二维码，让学生利用扫一扫工具打开试题并完成，教师当堂查看试题完成情况及反馈）（六）小结（由学生总结，从知识技能、数学方法、情感等方面进行）1、向量及有关概念向量的概念 向量的表示按向量的大小：零向量、单位向量；按向量的方向：共线向量、平行向量；按向量的大小与方向：相等向量、相反向量2、数学思想方法：数形结合、分类讨论（七）课后作业： 通过QQ作业发布，学生做完上传（具体见附件2）附件1向量的概念与表示导学单班级 学号 姓名 一、学习指南1. 课题名称：高中数学（苏教版）必修4第2章第一课时向量的概念与表示2. 达成目标：通过了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。3. 学习方法与建议：自主学习、小组合作、总结提升4. 课堂学习形式预告：第一阶段： 观看微课向量的来源；第二阶段：概念剖析对向量中的概念进行理解和辨析；第三阶段：数学应用通过例题加深对向量中概念的理解；第四阶段：总结提升总结本节课中的知识点及思想方法，提出困惑与建议。二、 自主学习请扫描右侧二维码或打开QQ作业完成自主学习部分并拍照上传。自主学习提示：请预习课本并在下方空白处写出你学习到的知识点及在自主学习过程中你遇到的困惑或建议。你学习到了哪些知识？你在自主学习过程中遇到了哪些困惑或有怎样的建议呢？三、小组合作OFEDCBA例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：（4） 试找出与共线的向量；（5） 确定与相等的向量；（6） 确定与相反的向量。例2在45的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外） 四、总结提升1.这节课你学到了什么？2.本节难点是什么？3.用了哪些主要思想方法来解决问题？五、课堂反馈六、课后作业请扫面右侧二维码完成课堂测试。请打开QQ作业或扫描右侧二维码完成课后作业并上传。附加22015.12.9 向量的概念和表示 班级_姓名_一、A组练习：1、已知，为两个单位向量，则下列命题中正确的是 ；若，则；或；若，则2、已知下列命题：若点O是正三角形ABC的中心，则;在四边形ABCD中，若与共线且,