第 26 讲 进位制问题内容概述 本讲不着重讨论 我们要注意本质是：n进制中运算问题， 我们是关心n这个数字，即为几进制对于进位制 n 进制就是逢 n 进一 .但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的 说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制典型问题1. 在几进制中有 4X 13=100.【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4) 10 X10=(12) 10 .但是，式中为100,尾数为0.也就是说已经将 1 2全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数，也就是12, 6, 4, 3, 2.但是出现了 4，所以不可能是 4， 3， 2 进制.我们知道(4) 10 X(13) 10=(52)10,因52 100 ,也就是说不到 10就已经进位,才能是 100,于是我们知道 nc_010201 020C D1于SO2.削琏也制A+B+C+D=3+1+2+0=6零自然数，如果它的二进制表示中数码I的个数是偶数，则称.例如：18= (10010) 2是“坏数”.试求小于1024的所有坏数的个数.我们现把1024转化为二进制：则6. 一个非 之为“坏数”【分析与解】10(1024)10=210 =(10000000000) 2.于是，在二进制中为 11位数，但是我们只用看 10位数中情况. 并且，我们把不足 10 位数的在前面补上 0 ,119个15个或以上0 ?2=则，* 山 I 9个1 上 I*丄可以含2个I ,4个1,10个位置6 个 1, 8 个 I , 10 个 1 .于是为 Co Co Cw Cw Cw10 9|10 987J0 9 8 7 6 5 , 10 9 8 7 6 5 4= + + + +121 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7.计算：i3X33.3-1 26的余数.2003个3J【分析与解】Lx33X31 = 1000X0-1 =、222.2 1 I 2003个 3.丿 、 2003个 33 2003个2 )3( 、26=(222) 3 所以，13竺3.仝31十 26= i 22”2+ (222) 3V2003个3丿V 2003个2丿3(222) 3整除(222) 3 , 2003- 3: 6672,所以余(22) 3=8.所以余数为& 一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了 2个三位数.老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个？【分析与解】我们设(3 ab) 10 =(4 cd ) 9 =(5 ef) 8 ；我们知道(4 cd ) 9在(400) 9(488) 9之间，也就是4X925X9 2-1 ,也就是324406;22还知道(5 ef ) 8在(500) 8(577) 8之间，也就是 5X86X8 -1，也就是 320383;又知道 (3 ab) 10 在(300) 10(399) 10之间所以，这样的三位数应该在324 383 之间，于是有 383-324+1=60 个三位数满足条件 .9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？ 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始， 按原规律进行新的一轮如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】 我们注意到每天12348163264前若干天的和2102004211前1天为1，前2天为 21，前3天是22，所以前 11天为 210，前12天是 211， 也就是说不够第 11 天拿的，但是根据题中条件知所以共需 12天.每天11248163264前若干天的和1248163264128改写为 2 进制1101001000100001000001000000100000002004=(11111010100) 2，(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53 天