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2015届高三年级上海市八校联合调研考试(理科)数学试卷 2015.3考生注意: 1、每位考生应同时收到试卷与答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无效;2、答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚;3、本试卷共23道试题,满分150分,考试时间120分钟。一、填空题:(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分。1、函数的最小正周期是 ;2、已知线性方程组的增广矩阵为,若此方程组无实数解,则实数的值为 ;3、若直线的方向向量是直线的法向量,则实数的值等于 ;4、若函数的定义域与值域都是,那么实数的值为 ;5、已知点在焦点为的椭圆上,若,则的值等于 ;6、某县共有个村,按人均年可支配金额的多少分为三类,其中一类村有60个,二类村有个。为了调查农民的生活状况,要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个,则二类村、三类村共抽取的村数为 ;7、已知点,是抛物线的焦点,若点在抛物线上运动,当取最小值时,点的坐标为 ;8、 ;9、某企业最近四年的年利润呈上升趋势,通过统计,前三年的年利润增长数相同,后两年的年利润增长率相同,已知第一年的年利润为千万元,第四年的年利润为千万元,则该企业这四年的平均年利润为 千万元。10、已知直线的斜率为,经过点, 与的距离为,若数列是无穷等差数列,则的取值范围是 ;11、从名运动员中选出名运动员组成接力队,参加米接力赛,那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 (结果用最简分数作答);12、如图:边长为的正方形的中心为,以为圆心,为半径作圆。点是圆上任意一点,点是边上的任意一点(包括端点),则的取值范围为 ;13、一质点从正四面体的顶点出发沿正四面体的棱运动,每经过一条棱称为一次运动。第1次运动经过棱由到,第2次运动经过棱由到,第3次运动经过棱由到,第4次经过棱由到。对于,第次运动回到点,第次运动经过的棱与次运动经过的棱异面,第次运动经过的棱与第次运动经过的棱异面。按此运动规律,质点经过次运动到达的点为 ;14、对于函数定义域内的值,若对于任意的,恒有(或)成立,则称是函数的极值点。若函数在区间内恰有一个极值点,则的取值范围为 。二、选择题:(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。15、“且”是“”的 ( )A、充分非必要条件; B、必要非充分条件;C、充分必要条件; D、既不充分又不必要条件。16、已知底面边长为,高为的正六棱柱的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A、; B、; C、; D、。17、已知是虚数单位),的展开式中系数为实数的项有( )A、671项; B、672项; C、673项; D、674项。18、定义在上的函数满足,且当时,。则 ( )A、; B、; C、; D、。三、解答题:(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。19、(本题满分12分,第1小题5分,第2小题7分)如图:将圆柱的侧面沿母线展开,得到一个长为,宽为的矩形。(1)求此圆柱的体积;(2)由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达,求绳长的最小值(绳粗忽略不计)。20、(本题满分12分,第1小题5分,第2小题7分)已知是虚数单位)。(1)当且时,求的值;(2)设,求的最大值与最小值及相应的值。21、(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在数列中,。(1)若数列满足,求证:数列是等比数列;(2)设,记 ,求使的最小正整数的值。22、(本题满分18分,第1小题6分,第2小题6分,第3小题6分) 已知射线,直线过点交于点,交于点。(1)当时,求中点的轨迹的方程;(2)当且 是坐标原点)面积最小时,求直线的方程;(3)设的最小值为,求的值域。23、(本题满分18分,第1小题4分,第2小题8分,第3小题6分)设函数。(1)当时,对于一切,函数在区间内总存在唯一零点,求的取值范围;(2)若在区间上是单调函数,求的取值范围;(3)当时,函数在区间内的零点为,判断数列的增减性,并说明理由。数学(理科)参考答案与评分建议一、填空题:1、; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、; 7、;8、; 9、; 10、; 11、; 12、;13、; 14、。二、选择题:15、; 16、; 17、; 18、。三、解答题:19、(1)设圆柱的底面半径为,高为,则,即-2分 -5分(2)设中点为,侧面展开图矩形为,中点为。则绳长的最小值即为侧面展开图中的。 -7分。 -10分 所以绳长的最小值为。 -12分20、(1)由,得 -2分 即 -3分 因为,则,所以 -4分 得:或。 -5分(2) -7分 -9分 -10分当,即时, -11分当,即时,。 -12分21、(1)因为,所以,代入得 -2分化简得: -4分又 -5分所以是以为首项,为公比的等比数列。 -6分(2)由(1)得,所以 -8分由,得 -9分 -10分所以 。 -12分若,则,即,得所以满足条件的最小正整数等于。 -14分22、解法一:(1)当时,设,因为是中点,所以 -2分因为三点共线,所以,由,则有,即 -4分代入得点轨迹方程为。 -6分(2)当时, -8分由共线得 -9分,当时等号成立, -10分此时,直线方程为。 -12分(3)由三点共线得:,即 -14分 -16分因为,且,所以上式所以,所以值域为。 -18分解法二:(1)由题知直线的斜率存在,且。当时,设直线 由,同理得 -3分设,则消去得轨迹方程为。 -6分(2)当时,设直线由,同理得 -8分 -9分设,则,所以,当,即时,最小值为,此时,所以直线。 -12分(3)设由,则理得 -14分设,因为,所以, -16分所以,所以值域为。 -18分23、(1)当时,在区间内有唯一零点,因为函数在区间上是增函数,所以且 -2分即且,由对于恒成立,得所以的取值范围为。 -4分(2)在区间上是单调函数,设, -7分由题知或对于恒成立 -9分因为,所以或。 -12分(3)时, 在区间上的零点是,所以 -14分由知,所以,设在区间上的零点为,所以,即 -16分又函数在区间上是增函数,所以即
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