专题九：“一线三角型”模型的应用1、如图，在ABC中，AB=AC,P、M分别在BC、AC边上，且APM=ZB,AP=MP，求证：AAPB竺PMC。-分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，2ABC为等边三角形，ZAPM=60，BP=1,CM=，求厶ABC的边长。33、如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AD二3cm,BC=7cm,ZB=60，P为BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PM交DC于M，使得ZAPM=ZB。(1) 求证：ABPs&cm；(2) 求AB的长；(3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在,求出BP的长；若不存在，请说明理由。#A4、如图，AB丄BD,CD丄BD,且AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。5、已知在梯形ABCD中，AD/BC,AD,BC，且AD=5,AB二DC=2。(1) 如图a，P是AD上的一点，满足ZBPC=ZA。求证：ABPsDPC；求AP的长。(2) 如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足ZBPE=ZA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么： 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围； 当CE=1时，求出AP的长。6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。(1) 证明RtAABMsR弋MCN；(2) 设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;（3）当M点运动到什么位置时RtAABMsRtAAMN,求x的值。B；-7、如图，正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当y=1cm时，求x的值。48、如图，边长为1的正方形OABC的顶点为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连结OD，过点D作DE丄OD，交边AB于点E,连结0E,设CD二t。（1）当t=1时，求直线DE的函数表达式；3（2）当OD2,DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。9、如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数）,BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合），连结DE,作EF丄DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y。(1)求y关于x的函数关系式;(2) 若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12(3) 若y，要使ADEF为等腰三角形，m的值应为多少?m10、如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D)，连结PC，过点P作PE丄PC交AB于E。(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC丄QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由;(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围。11、在四边形ABCD中AB丄BC,DC丄BC,AB=a,DC=b,BC=a,b，且ab，取AD的中点P，连结PB、PC。(1) 试判断三角形PBC的形状；(2) 在线段BC上，是否存在点M，使AM丄MD。若存在，请求出EM的长；若不存在，请说明理由。#