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专题九:“一线三角型”模型的应用1、如图,在ABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上,且APM=ZB,AP=MP,求证:AAPB竺PMC。-分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据已有的知识经验,学生很快能够解决。2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图,2ABC为等边三角形,ZAPM=60,BP=1,CM=,求厶ABC的边长。33、如图,等腰梯形ABCD中,AD/BC,AD二3cm,BC=7cm,ZB=60,P为BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得ZAPM=ZB。(1) 求证:ABPs&cm;(2) 求AB的长;(3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由。#A4、如图,AB丄BD,CD丄BD,且AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,问:在BD上是否存在P点,使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由。5、已知在梯形ABCD中,AD/BC,AD,BC,且AD=5,AB二DC=2。(1) 如图a,P是AD上的一点,满足ZBPC=ZA。求证:ABPsDPC;求AP的长。(2) 如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足ZBPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么: 当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围; 当CE=1时,求出AP的长。6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,如图。(1) 证明RtAABMsR弋MCN;(2) 设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时RtAABMsRtAAMN,求x的值。B;-7、如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点,连结AP,过点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm。(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;(2)当y=1cm时,求x的值。48、如图,边长为1的正方形OABC的顶点为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动(不与B、C重合),连结OD,过点D作DE丄OD,交边AB于点E,连结0E,设CD二t。(1)当t=1时,求直线DE的函数表达式;3(2)当OD2,DE2的算术平方根取最小值时,求点E的坐标。9、如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合),连结DE,作EF丄DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y。(1)求y关于x的函数关系式;(2) 若m8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?12(3) 若y,要使ADEF为等腰三角形,m的值应为多少?m10、如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE丄PC交AB于E。(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC丄QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围。11、在四边形ABCD中AB丄BC,DC丄BC,AB=a,DC=b,BC=a,b,且ab,取AD的中点P,连结PB、PC。(1) 试判断三角形PBC的形状;(2) 在线段BC上,是否存在点M,使AM丄MD。若存在,请求出EM的长;若不存在,请说明理由。#
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