实数的概念及性质第六讲实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不 断扩充的.从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过 程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数 域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数 轴上的点就建立了对应的关系.由于引入开方运算，完善了代数的运算.平方根、 立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二 次方程等知识的基础.平方根、立方根是最简单 的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进 一步学习偶次方根、奇次方根的基础.有理数和无理数统称为实数，实数有下列重 要性质：1 .有理数都可以写成有限小数或循环小数的形 式，都可以表示成分数q的形式；无理数是无限 p不循环小数，不能写成分数9的形式，这里P、q是P互质的整数，且p 0.2有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何 两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理 数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.例题求解【例1】若a、b满足3.a 5b 3=7，则S= 2.a 3b的取值范围是.（全国初中数学联赛试题）思路点拨 运用、a、b的非负性，建立关于S的 不等式组.注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间 的一切现象都能归结为整数或整数之比.但是该 学派的成员希伯索斯发现边长为 1的正方形的 对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表 示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解， 这 一事件在数学史上称为第一次数学危机.希伯索 斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受， 相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入 海中处死.【例2设a是一个无理数，且a、b满足ab a b+1=0，则 b 是一个（）A .小于0的有理数 B .大于0的有理数 C .小于0的无理数 D.大于0的无理数（武汉市选拔赛试题） 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a或b 的关系式.【例3】已知a、b是有理数，且 (1 许(1 晋)b3 o，求 a、b 的值.思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两 部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组.【例4】(1)已知a、b为有理数，x, y分别表 示5 .7的整数部分和小数部分，且满足axy+by2=1,求a+b的值.(南昌市竞赛题) 设x为一实数，x表示不大于x的最大整数， 求满足77.66x= 77.66x+1 的整数 x 的 值.(江苏省竞赛题) 思路点拨运用估算的方法，先确定x, y的值，再代入xy+by2= 1中求出a、b的值；(2)运 用x的性质，简化方程.注：设x为一实数，则x表示不大于x的最大 整数，x又叫做实数x的整数部分，有以下基 本性质：(1) x 1x x (2)若 y x，则y x (3) 若 x 为实数，a为整数，则x+a= x+ a .【例5】 已知在等式3 s中，a、b、c、d都是cx d有理数，x是无理数，解答：(1) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数;(2) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 把s用只含a、b、c、d的代数 式表示；(2)从以下基本性质思考：设a是有理数，r是无理数，那么a+r是无理 数；若a工0，则a r也是无理数； r的倒数r也是无理数，解本例的关键之一还需 运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细 讨论.注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威 几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个 数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理 数，设法推出矛盾.学力训练1 .已知 X、y 是实数，3X 4 y2 6y 9 0，若 axy 3x y， 贝 0 a=.(2002年个数的平方根是a2 b2和4a 6b 13，那么 这个数是3 方程.|x y 5 y 18 0的解是.4.请你观察思考下列计算过程：T 112= 121, 121 ii ；同样/ 111=12321,J12321 111 ； 由此3青貝 1234567898 7654321.（济南市中考题） 5.如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、 B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表 示的数是（ ）A .近 1 B .1 C .2忑 D .血 2 叫 * 1 貨（江西省中考题）6 .已知x是实数，则x Lx 7的值是（）A. 1 1 B . 1 1 C .丄1 D.无法确定的（“希望杯”邀请赛试题）7 .代数式X X 1 .x 2的最小值是（）A.0 B . 1 2 C . 1 D.不存在的（“希望杯”邀请赛试题）& 若实数a、b满足（a b勿2 b 2a 3 o，求2b+a 1 的值.（山西省中考题） 9.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问 题S2(1)2 1 2，S1 于；(1 3t(3 1 4, T ;(1) 请用含有n(n是正整数)的等必式表示上述变化规律；(2) 推算出OA10的长；(3) 求出S2+S22+S32+S21o的值.(烟台市中考题)10.已知实数a、b、c满足2a b ,2b c c2 c寸o，则 a(b+c)=.11 .设x、y都是有理数，且满足方程 (2 3)x (1 2)y 40，那么 x y 的值是 .(“希望杯邀请赛试题)12.设a是一个无理数，且a、b满足ab+a b=1,贝 M b=.(四川省竞赛题)13 已知正数a、b有下列命题：若 a=1, b = 1,则-ab 1 ；若 a b -5, 则 ab 2 ；若 a= 2, b=3,则 ab I ； 若 a=1, b=5, 则.ab 3 .根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若 a=6, b=7，贝U ab .（黄冈市竞赛题）14 已知：1 a 1，那么代数式1 a的值为（）aaA. -2B -2 c 5 D 5（重庆市竞赛题）15.设x表示最接近x的整数（x工n+0.5, n为整 数），贝则1 2 + 2 3 + 3 4 + + .100 101 的值为（）A . 5151B . 5150 C . 5050D. 5049（“五羊杯”邀请赛试题）16 .设 ab0, a 1，N0)，贝M b 叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN .例如：因为23=8，所以Iog28=3;因为2-3=， 所以 Iog2 = 3.8(1) 根据定义计算： Iog3 81=; Iog33=;Iog3l=; 如果 logx 16=4，那么 x=(2) 设 ax=M，= N，则 IogaM=x ; IogaN = y(a0， a 1，N0，M，N 均为正数).用logAM，IogAN的代数式分别表示IogaMN 及logaM，并说明理由.N傣州市中考题)20.设y ，a、b、c、d都是有理数，x是无cx d 77理数.求证：(1)当bc=ad时，y是有理数；(2)当bcM ad时，y是无理数.设厶ABC2 2 2a2 c2 8b2 4ab 4bc 0的三边分别是a、b、c,且 ，试求AABC的形状.21 + SjD I占一心DAB 由祭杵樽 w-H備一 H-o pia-i#o，M ft-1-o.fltA*)(4 十 *1斗)+(4-挣一嗚,ft=4*14C1V Z-S-yT,V出 s 2 *柑-疗)+ 肌#只-1.即 f 一如一抽& 2tf W =0iJ+ (6ii + lfiL-0. V 口価沖有Jlfhh.再得 d-4*4，An+-ilft+ lifr 1=0*2右一蜒C2V =沖鑒n化-77. 66-78r+ Q0.34t.X讥碗A n 原方耗枕为一7時十3U” -7x+1.0. 30= 1 -(t?ttfll JTffA ”2,5,- (n+rf) +frU)3-=c=c#u时*s=吕塵书耳ft闿心。时用=Ln -d-rtff_r +a其中严是右理豪心十h是丄一节是有理虬昱便”有JirR夺占一节”耳氐乞止掃匕如.斗= 趴且d/O琥牡0 11Q ad时冷是衲用勲. 2z)S c=0*rf*0K-且时趴Sit盍理#r；当#0甘尸岸罗f f十石烧JC申亍是舟用fid是无犀占一半是有耳出浙g斗一字#Q，即2魂再无理毗SJBh3 t-OtaQ.JOI学力II I . fl ?1 M9 3. U,y)-(13B-ia235ia) 竺丄TI*. A *(T-ir)0 a(0T- B Aj10t JU j?t此时花T* +耳吃斗 /女1 +2證十 |.j20由豪件得d + fc=-0严al.耳=少Crt.*=虑心字1Am 箱方建变雜为(言T十专$4)十十卄专了一 10上Mi D 由lol =1(丄一.)+札MC yJr+l)=fj-4-R5)f-Ok 15(jf+0. 5V :. r /77+Tj+0l Z + J 4- 4-0Q= 5050.I A (zj+ft J4 6ufr+ (a A)* Zufr-iz4A“亦耳IT可以证补汩讦*誌7*?7厂(占+去+) 设牧块的履为册千丸天平的左.右诗氏分辑为f, Jih/i =3flKW| 宿人-900/|（Dx得n* h 6 =2：0000/：/；审 m亠 y2*dooo=te&i9,4克i镇 mD4迦1加近（2141（严二丁+列10曲壬之上一丹谨隔用，一20-m r、d不龟冋时为0再条y Jt At JL.若r0由Ar*賛0”得4一0此时为祈理Ik*若d二0*则-=#0由bt-a陽*-o,ft!W严耳“严为科廂融.45H加0,曲fec-uJ帕=孚点人号 M理&J （设k护前肘为有脚散剧（DyWitr十乩耳1让一（0丁十3$ -佛|11!8孤野 &力税需蠡川为兀理I