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单元质量测试(七) 时间:120分钟满分:150分第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1直线3xy10的倾斜角大小为()A30 B60 C120 D150答案C解析k,120故选C2“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由a2得两直线斜率满足(2)1,即两直线垂直;由两直线垂直得(a)1,解得a2故选A3已知双曲线1(a0,b0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx答案A解析由题意得,双曲线的离心率e,故,故双曲线的渐近线方程为yxx4(2018邯郸摸底)已知F1,F2分别是双曲线C:1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|8,则()A4 B3 C2 D2答案A解析由1知c2a2b216,所以|F1F2|2c8,由双曲线定义知|PF1|PF2|2a6,所以|PF2|2或|PF2|14(P在右支上,舍去),所以45(2018福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在x轴上,对称中心为原点,离心率为若点M在C上,且MF1MF2,M到原点的距离为,则C的方程为()A1 B1Cx21 Dy21答案C解析显然OM为RtMF1F2的中线,则|OM|F1F2|c又e,得a1进而b2c2a22故C的方程为x21,故选C6设F1,F2是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A B C D答案C解析令c如图,据题意,|F2P|F1F2|,F1PF230,F1F2P120,PF2x60,|F2P|23a2c|F1F2|2c,3a2c2c,3a4c,即椭圆的离心率为故选C7(2018大庆质检一)已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y212x的准线交于A,B两点,|AB|2,则C的实轴长为()A B2 C2 D4答案D解析因为抛物线y212x的准线为x3,而等轴双曲线C的焦点在x轴上,所以A,B两点关于x轴对称,且|AB|2,所以点(3,)在双曲线上,代入双曲线的方程x2y2a2中得95a24,所以a2,即2a4,故双曲线C的实轴长为4故选D8(2018乌鲁木齐一诊)已知抛物线y24x与圆F:x2y22x0,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则下列关于|AB|CD|的值的说法中,正确的是()A等于1 B等于16C最小值为4 D最大值为4答案A解析圆F的方程为(x1)2y21设直线l的方程为xmy1代入y24x得y24my40,y1y24设点A(x1,y1),D(x2,y2)则|AF|x11,|DF|x21,所以|AB|AF|BF|x1,|CD|DF|CF|x2,所以|AB|CD|x1x2(y1y2)21故选A9(2018沈阳质检一)已知双曲线C:1(a0,b0),O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若AFO,则双曲线C的离心率为()A2 B C D答案A解析如图所示,在AOF中,OAF90,又AFO30,所以AOF60,故tan60,所以e 2,故选A10(2019唐山模拟)已知F1,F2为双曲线:1(a0)的左、右焦点,P为双曲线左支上一点,直线PF1与双曲线的一条渐近线平行,PF1PF2,则a()A B C4 D5答案A解析如图,记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M与PF1平行的双曲线的渐近线为yx,由PF1PF2,得PF2l,则F2(c,0)到直线l:xy0的距离为d2而OMF2为直角三角形,所以|OM|a又OMF1P,O是F1F2的中点,所以|F1P|2|OM|2a,|PF2|2|MF2|4而由双曲线的定义,有|PF2|PF1|2a,即42a2a,所以a故选A11(2019衡阳模拟)已知椭圆E:1(ab0)的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆以外,且线段PF1与椭圆E交于点M若|OM|MF1|OP|,则椭圆E的离心率为()A B C1 D答案C解析过M作MHx轴于点H,由|OM|MF1|,知H为OF1的中点,进而MH为PF1O的中位线,则M为F1P的中点从而依题意,有|F1P|OP|,即sinOF1P,则OF1P则MF1O是边长为c的等边三角形连接MF2(F2为椭圆E的右焦点),则由OMOF1OF2可知F1MF2故e1故选C12(2018合肥质检一)如图,已知椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A20 B10 C2 D4答案D解析解法一:设点H(0,t),0t0,解得1a314(2018浙江宁波质检)与圆(x2)2y21外切,且与直线x10相切的动圆圆心的轨迹方程是_答案y28x解析设动圆圆心为P(x,y),则|x1|1,依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x2为准线的抛物线,故方程为y28x15(2018贵阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F,且倾斜角为60的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|BF|,且|AF|2,则p_答案1解析过点A作AMx轴交x轴于点M,由AFM60,|AF|2得|FM|1,且点A到抛物线的准线l:x的距离为2,而|FM|1,所以抛物线的焦点F到准线的距离为1,即p116已知椭圆C:1,点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|BN|_答案12解析解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(,0),右焦点为F2(,0)则M(m,n)关于F1的对称点为A(2m,n),关于F2的对称点为B(2m,n),设MN中点为(x,y),所以N(2xm,2yn)所以|AN|BN|2,故由椭圆定义可知|AN|BN|2612解法二:根据已知条件画出图形,如图设MN的中点为P,F1,F2为椭圆C的焦点,连接PF1,PF2显然PF1是MAN的中位线,PF2是MBN的中位线,|AN|BN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)2612三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(2018河南郑州检测)(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|5|MQ|(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,过点N(2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程解(1)由题意,得5,即5,化简,得x2y22x2y230,所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时,l:x2,此时所截得的线段长度为28,所以l:x2符合题意当直线l的斜率存在时,设l的方程为y3k(x2),即kxy2k30,圆心(1,1)到直线l的距离d由题意,得24252,解得k所以直线l的方程为xy0,即5x12y460综上,直线l的方程为x2或5x12y46018(2018佛山质检一)(本小题满分12分)已知椭圆C1:1(ab0)的右顶点与抛物线C2:y22px(p0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为4(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)过点A(2,0)的直线l与C2交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为M,证明:直线MN恒过一定点解(1)设椭圆C1的半焦距为c,依题意,可得a,则C2:y24ax代入xc,得y24ac,即y2,则有解得a2,b,c1所以椭圆C1的方程为1,抛物线C2的方程为y28x(2)证明:依题意,可知直线l的斜率不为0,可设l:xmy2联立消去x,整理得y28my160设点M(x1,y1),N(x2,y2),则点M(x1,y1),由(8m)24160,解得m1或m1且有y1y28m,y1y216,m,所以直线MN的斜率kMN可得直线MN的方程为yy2(xx2),即yxy2xx(x2)所以当m1或m1时,直线MN恒过定点(2,0)19(2019深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l经过抛物线C:x24y的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线分别与x轴交于点M,N(1)求证:AMMF;(2)记AFM和BFN的面积分别为S1和S2,求S1S2的最小值解(1)证明:不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1,y2
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