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. .2021年8月4日初中数学试卷一、综合题共9题;共135分1.如下列图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,4,与x轴交于A、B两点,且A6,0,与y轴交于点C1求抛物线的函数解析式;2求ABC的面积;3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使APC的面积最大.假设能,请求出点P的坐标;假设不能,请说明理由2.2021乌鲁木齐如图,抛物线y=ax2+bx+ca0与直线y=x+1相交于A1,0,B4,m两点,且抛物线经过点C5,01求抛物线的解析式;2点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合,过点P作直线PDx轴于点D,交直线AB于点E当PE=2ED时,求P点坐标;是否存在点P使BEC为等腰三角形.假设存在请直接写出点P的坐标;假设不存在,请说明理由3.2021如图,二次函数y=ax2+bx+ca0的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为3,0,顶点C的坐标为1,41求二次函数的解析式和直线BD的解析式;2点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;3在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使BDQ中BD边上的高为2 .假设存在求出点Q的坐标;假设不存在请说明理由4.2021如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A3,0,B2,3,C0,3,其顶点为D1求抛物线的解析式;2设点M1,m,当MB+MD的值最小时,求m的值;3假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC的面积的最大值;4假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EFND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形.假设能,求点E的坐标;假设不能,请说明理由5.2021如图,两直线l1, l2分别经过点A1,0,点B3,0,且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C,当点C的坐标为0,时,恰好有l1l2,经过点A,B,C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F,D为抛物线的顶点1求抛物线的函数解析式;2试说明DG与DE的数量关系.并说明理由;3假设直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当MCG为等腰三角形时,请直接写出点M的坐标6.如图,抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A1,0,C0,3两点,与x轴交于点B1假设直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;2在抛物线的对称轴x=1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;3设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点,求使BPC为直角三角形的点P的坐标7.如图,抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴相交于A1,0,B3,0,与y轴交于点C0,31求抛物线的解析式;2连接BC,点P为抛物线上第一象限一动点,当BCP面积最大时,求点P的坐标;3设点D是抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在点Q,使以点B,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形.假设存在,求出点Q的坐标;假设不存在,说明理由8.2021如图,抛物线y=ax2+bx3经过点A2,3,与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB1求抛物线的解析式;2点D在y轴上,且BDO=BAC,求点D的坐标;3点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在,求出所有符合条件的点M的坐标;假设不存在,请说明理由答案解析局部一、综合题1.【答案】1解:设此函数的解析式为y=ax+h2+k,函数图象顶点为M2,4,y=ax+224,又函数图象经过点A6,0,0=a6+224解得a= ,此函数的解析式为y= x+224,即y= x2+x3;2解:点C是函数y= x2+x3的图象与y轴的交点,点C的坐标是0,3,又当y=0时,有y= x2+x3=0,解得x1=6,x2=2,点B的坐标是2,0,那么SABC= |AB|OC|= 83=12;3解:假设存在这样的点,过点P作PEx轴于点E,交AC于点F设Ex,0,那么Px, x2+x3,设直线AC的解析式为y=kx+b,直线AC过点A6,0,C0,3,解得,直线AC的解析式为y= x3,点F的坐标为Fx, x3,那么|PF|= x3 x2+x3= x2 x,SAPC=SAPF+SCPF= |PF|AE|+ |PF|OE|= |PF|OA|= x2 x6= x2 x=x+32+ ,当x=3时,SAPC有最大值,此时点P的坐标是P3,【考点】二次函数的应用【解析】【分析】1根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值,即可解题;2易求得点B、C的坐标,即可求得OC的长,即可求得ABC的面积,即可解题;3作PEx轴于点E,交AC于点F,可将APC的面积转化为AFP和CFP的面积之和,而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离,因此假设设设Ex,0,那么可用x来表示APC的面积,得到关于x的一个二次函数,求得该二次函数最大值,即可解题2.【答案】1解:点B4,m在直线y=x+1上,m=4+1=5,B4,5,把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得,解得,抛物线解析式为y=x2+4x+52解:设Px,x2+4x+5,那么Ex,x+1,Dx,0,那么PE=|x2+4x+5x+1|=|x2+3x+4|,DE=|x+1|,PE=2ED,|x2+3x+4|=2|x+1|,当x2+3x+4=2x+1时,解得x=1或x=2,但当x=1时,P与A重合不合题意,舍去,P2,9;当x2+3x+4=2x+1时,解得x=1或x=6,但当x=1时,P与A重合不合题意,舍去,P6,7;综上可知P点坐标为2,9或6,7;设Px,x2+4x+5,那么Ex,x+1,且B4,5,C5,0,BE= = |x4|,CE= = ,BC= = ,当BEC为等腰三角形时,那么有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况,当BE=CE时,那么 |x4|= ,解得x= ,此时P点坐标为,;当BE=BC时,那么 |x4|= ,解得x=4+ 或x=4,此时P点坐标为4+ ,4 8或4,4 8;当CE=BC时,那么 = ,解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合,不合题意,舍去,此时P点坐标为0,5;综上可知存在满足条件的点P,其坐标为,或4+ ,4 8或4,4 8或0,5【考点】二次函数的应用,与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】1由直线解析式可求得B点坐标,由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;2可设出P点坐标,那么可表示出E、D的坐标,从而可表示出PE和ED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,那么可求得P点坐标;由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长,由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程,可求得E点坐标,那么可求得P点坐标3.【答案】1解:抛物线的顶点C的坐标为1,4,可设抛物线解析式为y=ax12+4,点B3,0在该抛物线的图象上,0=a312+4,解得a=1,抛物线解析式为y=x12+4,即y=x2+2x+3,点D在y轴上,令x=0可得y=3,D点坐标为0,3,可设直线BD解析式为y=kx+3,把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=1,直线BD解析式为y=x+32解:设P点横坐标为mm0,那么Pm,m+3,Mm,m2+2m+3,PM=m2+2m+3m+3=m2+3m=m2+ ,当m= 时,PM有最大值3解:如图,过Q作QGy轴交BD于点G,交x轴于点E,作QHBD于H,设Qx,x2+2x+3,那么Gx,x+3,QG=|x2+2x+3x+3|=|x2+3x|,BOD是等腰直角三角形,DBO=45,HGQ=BGE=45,当BDQ中BD边上的高为2 时,即QH=HG=2 ,QG= 2 =4,|x2+3x|=4,当x2+3x=4时,=9160,方程无实数根,当x2+3x=4时,解得x=1或x=4,Q1,0或4,5,综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为1,0或4,5【考点】二次函数的应用,与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】1可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,那么可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;2设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;3过Q作QGy轴,交BD于点G,过Q和QHBD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得DHG为等腰直角三角形,那么可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标4.【答案】1解:将A,B,C点的坐标代入解析式,得,解得,抛物线的解析式为y=x22x+32解:配方,得y=x+12+4,顶点D的坐标为1,4作B点关于直线x=1的对称点B,如图1,那么B4,3,由1得D1,4,可求出直线DB的函数关系式为y= x+ ,当M1,m在直线DN上时,MN+MD的值最小,那么m=1+ = 3解:作PEx轴交AC于E点,如图2,AC的解析式为y=x+3,设Pm,m22m+3,Em,m+3,PE=m22m+3m+3=m23mSAPC= PE|xA|= m23m3=m+ 2+ ,当m=时,APC的面积的最大值是4解:由1、2得D1,4,N1,2点E在直线AC上,设Ex,x+3,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,那么Fx,x22x+3,EF=DNx22x+3x+3=42=2,解得,x=2或x=1舍去,那么点E的坐标为:2,1当点E在线段AC或CA延长线上时,点F在点E下方,那么Fx,x22x+3,EF=DN,x+3x22x+3=2,解得x= 或x= ,即点E的坐标为:,或,综上可得满足条件的点E为E2,1或:,或,【考点】二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的应用,三角形的面积,轴对称-最短路线问题【解析】【分析】1根据待定系数法,可得答案.2利用轴对称求最短路径的知识,找到B点关于直线x=1的对称点B,连接BD,BD与直线x=1的交点即是点M的位置,继而求出m的值.3根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标,可得PE的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二
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