第五节向心加速度1理解向心加速度的概念。2知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3能够运用向心加速度公式求解有关问题。1.速度的变化量速度的变化量是指物体速度的增量，也叫速度变化。速度的变化量是矢量，有大小，也有方向。其运算规律遵循平行四边形定则(或三角形定则)。2对圆周运动中加速度的认识圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动。必定有加速度。3向心加速度(1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。(2)方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。(3)大小：an。根据vr可得an2r。(4)作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(5)物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。判一判(1)做匀速圆周运动物体所受的合力总指向圆心。()(2)做匀速圆周运动物体的加速度总指向圆心。()(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。()提示：(1)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心的。(2)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3)做匀速圆周运动物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。想一想匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？在变速圆周运动中呢？提示：在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圆心；在变速圆周运动中，物体的加速度不是向心加速度，加速度不指向圆心，但向心加速度指向圆心。课堂任务向心加速度的理解仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：地球和小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到力的作用。活动2：地球受到什么力的作用？这个力可能沿什么方向？地球的加速度沿什么方向？提示：地球受太阳引力的作用做匀速圆周运动，这个力只是在改变速度的方向，不改变速度大小，力应与速度垂直，故引力指向圆心，加速度也必然指向圆心。活动3：水平面上匀速圆周运动的小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？小球的加速度沿什么方向？提示：小球受重力、支持力和线的拉力，但重力、支持力合力为零。所以小球受到的合力就是线的拉力，方向指向圆心，故加速度也指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。(3)圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。例1(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度方向为_。提示：始终指向圆心规范解答向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。完美答案ABD对向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。下列说法中正确的是()A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的快慢C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。课堂任务向心加速度的大小和方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：在直线运动中如何表示速度的变化量？提示：在直线运动中速度的变化量如图甲和图乙所示。甲表示加速运动，乙表示减速运动。活动2：如果速度的方向是变化的，如何表示速度的变化量？提示：在同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端的有向线段v就是v1到v2速度的变化量，如图丙。活动3：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，比如从A点运动到B点，极短的一段时间，速度变化量v的方向如何？提示：由于是匀速圆周运动，A点的速度v1和B点的速度v2大小是一样的，即长度是一样的。为了便于比较，将v1的起点移到B，同时保持v1的长度和方向不变，如图丙。如果我们把时间逐渐缩短，当时间趋于0时，v1、v2的夹角趋于0，此时速度变化量v的方向与v1垂直，也就与半径平行，在A处与半径重合，指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)向心加速度的方向v的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时v与初速度的关系。结论：t趋于零，v垂直于此时的线速度。即v指向圆心。向心加速度的方向：由于v指向圆心，由加速度定义a可知，加速度总是与v的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。(2)向心加速度的大小公式推导：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以AOBCBD，故等腰AOB和CBD相似，根据对应边成比例可得：，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长vAt，所以，又an，故an。由于vr，代入an可得an2r。向心加速度的几种表达式：an2rr42n2rv。向心加速度与半径的关系a当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。b当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由anr图象可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看恒定还是v恒定。向心加速度的注意要点a向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。b向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。c无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。例2如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？提示：需要涉及公式an、an2r，通过抓住相同量比较不同量。(2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。规范解答大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA和aB得aBaA24 cm/s20.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA2R和aC2得aC4 cm/s20.04 m/s2。完美答案aB0.24 m/s2aC0.04 m/s2向心加速度公式的应用技巧(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an。(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an2r。所以分析向心加速度时应先确定是线速度大小相等，还是角速度相等，再选择合适的公式。如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r22r1，r31.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A123B243 C843D362答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a，可得aAaBr2r121。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a2r，可得aBaCr2r321.5。由此得aAaBaC843，故选C。 A组：合格性水平训练1(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度的方向始终指向圆心B向心加速度的方向保持不变C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化答案A解析向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确，B错误；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误。2.(传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()AanCanD2anEBanC2anD2anECanC2anEDanCanE答案C解析C、E两点同轴转动，角速度相等，由an2r，有2，即anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D两点的线速度大小相等，由an，有，即anCanD，故选C。3(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A由an可知，an与r成反比B由an2r可知，an与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2f可知，与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。4.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变DB物体运动的角速度与半径成正比答案AC解析因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，