课时作业 15圆锥曲线的综合问题12019河北邢台模拟已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解析：(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxn.由消去y，得x2xn210.因为直线yxn与椭圆y21有两个不同的交点，所以2n220，将AB的中点M的坐标代入ymx，解得n，由得m.故m的取值范围是.(2)令t，则t2.|AB|，点O到直线AB的距离d.设AOB的面积为S(t)，则S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.22019上海静安区模拟设m0，椭圆：1与双曲线C：m2x2y2m2的焦点相同(1)求椭圆与双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q(P，Q不同于右顶点)，若k1k21，求证：直线PQ的斜率为定值，并求出此定值解析：(1)由题意，得2mm21，所以m1.所以椭圆的方程为y21，双曲线C的方程为x2y21.(2)双曲线C的右顶点为(1,0)，因为k1k21，不妨设k10，则k20)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解析：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，1，p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则SABN|AB|d2，当且仅当k0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.42019贵州贵阳监测已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，为M为短轴的上端点，0，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1k2的值解析：(1)由0，得bc，将xc代入1中，得y，因为|AB|，所以，又a2b2c2，所以a，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)根据题意设直线l的方程为y1k(x2)(k1)，即ykx2k1(k1)，将ykx2k1代入y21中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题意知16k(k2)0，得2k0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解析：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1,0)到直线l1：yx的距离d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)解法一依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中O为坐标原点设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上解法二设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设直线l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x.联立得，消去y，得x212kx12kx1x0.因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得B点坐标为，所以，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中O为坐标原点，设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上62019全国卷已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.()证明：PQG是直角三角形；()求PQG面积的最大值解析：本题主要考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查方程思想、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)()设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形()由()得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.- 1 -