动态平衡问题专题一一临界、极值问题平衡物体的临界问:某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出 现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状 态将要被破坏而尚未破坏的状态。涉及临界状态的问题叫做临界问 题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其 中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平 衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或 极小值的问题。研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B,物体A放在倾角 为。的斜面上，如图。已知物体A的质量为m,物体A与斜面间 的动摩擦因数为 （/VtanO）,滑轮的摩擦不计，要使物体A静止 在斜面上，求物体B的质量取值范围。解析：先选物体B为研究对象，它受到重力Bg和拉力七的作用， 根据平衡条件有：尸T = mBS 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力尸N、轻绳拉 力尸T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态， 则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：尸N - mgcosO = 0Ft - Ffm - mgsinO = 0由摩擦力公式知：尸而二以联立四式解得 = m（sin。+ pcos。）.再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：FN-mgcos6=0Ft + Ffm - mgsinO - 0联立 四式解得mB = m(sin - picos0).故，物体B的质量的取值范围是：m(sin - picosO) % 300N ;当轻杆承受的压力尸2最大时，细绳所受的拉力F=F2 tan30=100V3 N 200N由此可以当物体的重力逐渐增加时轻杆承受的压力先达到最大Jit时物体的重力达到最大.当F. =300N时，尸 =2maxFCcos30o=200 招 N所以在B端所挂物体的最大重力为2003 N .答：在B端最多能挂200/3N的物体.3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB,结于圆心O,下悬重 为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水 平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力 大小如何变化？c解析：OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行 四边形进行分析.对结点O受力分析如图：结点O始终处于平衡状态，所以OB绳 和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的.所以0A绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB绳受力大小变化情 况是：先变小后变大4如图，一倾角为0的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P, 今在挡板与斜面间夹一个重为G的光滑球，试分析挡板P由图示位 置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？p解析：受力分析如图，将与尸2合成，其合力与重力等大反向如 图：挡板转动时，挡板给球的弹力与斜面给球的弹力尸2合力大小方 向不变，其中尸2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，的方向变化如图中a、b、c的规律变化，为满足平行四边形定则， 其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小.与此对应，尸2的大小为一直减小.根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。【同类题】在倾角为30。的斜面上，固定一挡板，在挡板和斜面之 间放置一重为G=20N的光滑圆球，如图甲和乙所示.(1) 试求出两种情况下，斜面和挡板对球的作用力分别为多大？(画出正确的受力分析示意图)(2) 若挡板可绕其下端逆时针从甲图的位置缓慢转到水平的过程 中，试通过作图分析说明斜面和挡板对小球的作用力大小如何变 化？解析：(1 )对球受力分析如图所示：由于光滑圆球受共点力处于静止状态，所以光滑圆球的合力为0 .将M在水平方向和竖直方向分解，由共点力平衡的条件得出：甲，斜面对球的作用力：N| =孚冶区=域c o sJ U33 N ,挡板对球的作用力：陷=m段tan30。=具ra段二3= 3 n ；乙,斜面对球的作用力:= mgcos30 =挡板对球的作用力：光=抻修23。=；用&TON .(2)受力分析如图，将叫与区合成，其合力与重力等大反向，挡板转动时，挡板给球的弹力叫与斜面给球的弹力合力大小方 向不变，其中的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中， %的方向变化如图中a、b、c的规律变化，为满足平行四边形定则， 其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小； 故虬先减小后增大，N2 一直减小；根据牛顿第三定律，知球对斜面的压力一直减小，对挡板的压力先 减小后增大.答：(1 )甲图斜面对球的作用力是，挡板对球的作用力是 个N ；乙图斜面对球的作用力是10V?N，挡板对球的作用力是10 N .(2 )斜面对小球的作用力逐渐减小；挡板对小球的作用力先减小 后增大；5：拉力尸作用于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进。如图， 若物体与地面间的动摩擦因数为，当拉力最小时，拉力尸与地面间的夹角。为多大?N解析：对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，如图所根据平衡条件，有：水平方向：Feos ef=Q竖直方向：N+Fsin3mg=0其中：g故：FcosO-pi(mg-Fsin0) =Q 解得：F=片竺cos0 + |Lisin0令 tanep = |Li ,贝lj F= ,1 + |Ll2 C0S(9 (P)当(p =9，即tan9 =日时，cos(0 -cp) = 1 ,拉力F最小最小答：拉力尸最小时 ,0 tan-i 日6如图，将质量为M的木块，分成质量为tU、刀2两部分，并用细 线连接，叫置于光滑水平桌面上，质2通过定滑轮竖直悬挂，叫和 m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的 最大值是多少？解析：绳子的拉力T,两部分的加速度相等，则4 =竺二4 m m 12e m m m m m (M -m) g .,、T =ia g = ia- g = 11 g =(-m2 + Mm )g m +m MMM 11得i 2g/ M. M2= -rr-()2 + M i 24故，当气=号时仃最大，值为M（根据均值定理，两个正数的和一定，当这两个数相等时，积最大）7有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上， 为了使下面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所 有摩擦均不计）解析：设圆弧曲面对小球支持力的方向与竖直方向夹角为a,对整体受力分析，有：2Ncosc=3mg ,得：刖已2cosa对最上面一小球进行受力分析，有：2尸cos3（rnng，对下面的其中一个小球受力分析，有 :2Vcosa=Fcos30+mg cosa=-r + R联立得 顼=（3占+ 1）尸答：圆弧曲面的半径R最大是（30F0由式得F的最大值尸max = mg/sin 6 = 40- N由式得尸的最小值Fm.n = rng/2sin6=20- N综合得F的取值范围为20 NF40 N3 3此题根据绳伸直且拉力分别为零的条件求出绳的拉力范围。9如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G,劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为四，劈的斜面与 竖直墙面是光滑的。问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过 多大?（设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）解析：对球A进行受力分析，根据受力平衡有:N= = mgcos45o对三角劈进行受力分析，根据受力平衡有: 户Mcos45又：Fn=(G+*cos45 )Wn解得：mg= G1 答：欲使三角劈静止不动球的重力不能超过 虹 .1 10如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别 为30。和60, AC绳能承受的最大拉力为150N,而BC绳能承受的 最大的拉力为100N,求物体最大重力不能超过多少？解析：装置受力图如右图所不AC和BC两段绳子方向不变，要保持平衡，二力的拉力方向不变,二力合成的平行四边形如上图所以有 飞=总TBC而 T =150 N , T =100 NAC maxBCmax所以AC更容易被拉断（2分）此时，TMg=150NAC max 2所以 M =10v3 kg=17.3kg（ 2 分）11 一光滑球重力为G,半径为R,靠着墙角静止在水平地面上，一厚度为h (h0o解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有Feos。+ mg=NFsin3=f 式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f=uN 联立得卞mgsmu 一 p-cosu(2)若不管沿拖杆方