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不等式恒成立问题的处理方法1、转换为求函数的最值恒成立的最大值;恒成立的最小值。例1、函数在处取得极值,其中为常数。1试确定的值; 2讨论函数的单调区间;3假设对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:12略3由2知,在处取得极小值,此极小值也是最小值。要使恒成立,只需,即,从而,解得或,的取值范围为。例2、对任意恒成立,试求实数的取值范围。解:等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立。由于在上为增函数,那么,所以。例3、函数在上既是奇函数又是减函数,且当时,有恒成立,求实数的取值范围。解:由得到:因为为奇函数,故有恒成立,又因为为减函数,从而有对恒成立;设,那么对于恒成立,函数,对称轴为。当时,即,又当,即时,即,又,当时,恒成立。故由可知:。2、主参换位例4、假设不等式对恒成立,求实数的取值范围。 例5、假设对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:例6、函数,其中为实数。假设不等式对任意都成立,求实数的取值范围。解:由题设知,对任意,不等式都成立,即,都成立。设,那么是一个以为自变量的一次函数。恒成立,那么,为上的单调递增函数。所以对任意,恒成立的充分必要条件是,于是的取值范围是。3、别离参数1将参数与变量别离,即化为或恒成立的形式;2求在上的最大或最小值;3解不等式或,得的取值范围。适用题型:参数与变量能别离;函数的最值易求出。例7、当时,不等式恒成立,那么实数的取值范围是 。解:当时,由得。令,那么易知在上是减函数,所以时,那么。例8、函数,其中。1当满足什么条件时,取得极值;2,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。解:12在区间上单调递增在上恒成立恒成立,;设,令得或舍,当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,;当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,。综上,当时, ;当时,。4、数形结合例9、假设对任意,不等式恒成立,那么实数的取值范围是 。解:,不等式恒成立,那么由一次函数性质及图象知,即。例10、当时,不等式恒成立,求实数的取值范围。例11、关于的函数,其中,假设当在区间内任意取值时,的值恒为正,求实数的取值范围。解:,令,那么,那么有,于是问题转化为:当时,恒成立,求实数的取值范围。因为是关于的一次函数,那么当时,恒成立的充要条件是,解得。所以当时,;当时,。
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