专题七概率与统计第一讲概率必记公式1古典概型的概率特点：有限性，等可能性P(A).2几何概型的概率特点：无限性，等可能性P(A).重要性质及结论1随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(AB)P(A)P(B)1，即P(A)1P(B)2互斥事件概率公式的推广P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)失分警示1混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件2不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义3几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果4在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型考点古典概型典例示法典例1(1)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B.C. D.解析从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是.答案B(2)20xx南昌一模现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率解甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：文学社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16种情形，即有16个基本事件文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，故文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，则所求概率为.利用古典概型求概率的方法及注意点(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(2)事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少针对训练1.20xx全国卷将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_答案解析设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b，在书架上的排法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中2本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种，因此2本数学书相邻的概率P.220xx郑州质检为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？解(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，则P(A).当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低.(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1、A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1、B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种同理首先抽出A2、B1、B2的事件也各有6种故事件M共有24种设“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)P(N).抽取4人中前两位均为B类市民的概率是.考点几何概型典例示法题型1与面积(或体积)有关的几何概型典例220xx福建高考如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D.解析依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD326，阴影部分的面积S阴影31，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P，故选B.答案B题型2与长度(角度)有关的几何概型典例3在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A.B.C.D.解析设ACx(0x12)，则CB12x，则矩形面积Sx(12x)12xx20，解得0x4或8x12，在数轴上表示，如图所示由几何概型概率公式，得所求概率为，故选C.答案C几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域考点概率与统计的综合典例示法题型1频率分布直方图与概率综合典例420xx全国卷某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大题型2茎叶图与概率综合典例520xx开封模拟 甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示(把频率当作概率)(1)假设c5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率解(1)若c5，则派甲参加比较合适，理由如下：甲(70280490298842153)85，乙(70180490353525)85 ，s(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.甲乙，s甲，则(75804903352c)85，c5，c6,7,8,9，又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，乙的平均分高于甲的平均分的概率为.题型3独立性检验与概率综合典例620xx武汉调研某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：AQI0,50(50,100(100,150(150,200(200,300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272015(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染根据提供的统计数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计100附：K2P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解(1)记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A.由y400，得x200.由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P(A).(2)根据题设中的数据得到如下22列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计85