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有关任意、存在、至少、恒成立问题1(本小题满分14分)已知函数。()求函数的单调区间。KS5U.C()若上恒成立,求实数的取值范畴(求f(x)的最大值)()在()的条件下,对任意的,求证:。 解:()当时,恒成立,则函数在上单调递增;分当时,由,则 KS*5.C则在上单调递增,在上单调递减. 4分()由()得:当时显然不成立; 当时,,只需即可. 分令,则,函数在上单调递减,在上单调递增,即对恒成立,也就是对恒成立,解得,分若在上恒成立,1.10分分析;即求的取值范畴,由于要不不小于0,而是不不小于或等于0,因此只有,解得,(),11分由得,由()得: ,1分则, KSU.C则原不等式成立. 高考资源4分2(本小题共14分)已知函数()若,求函数的极值和单调区间;() 若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范畴.解:(I)由于, 2分当, , 令,得 , 分又的定义域为,,随的变化状况如下表:极小值 因此时,的极小值为1 5分的单调递增区间为,单调递减区间为; 6分(II)解法一:由于 ,且,令,得到 , 若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值不不小于0即可 分 (1)当,即时,对成立,因此,在区间上单调递减,故在区间上的最小值为, 由,得,即 9分(2)当,即时, 若,则对成立,因此在区间上单调递减, 因此,在区间上的最小值为,显然,在区间上的最小值不不小于不成立 1分 若,即时,则有极小值 因此在区间上的最小值为,由,得 ,解得,即 13分综上,由(1)(2)可知:符合题意. 14分 解法二:若在区间上存在一点,使得成立, 即,由于, 因此,只需 7分令,只要在区间上的最小值不不小于0即可由于,令,得 9分(1)当时:极大值 由于时,,而, 只要,得,即 11分 ()当时:极小值 因此,当 时,极小值即最小值为,由, 得 ,即. 13分 综上,由()()可知,有 . 14分3 山东青岛一模已知函数()若,令函数,求函数在上的极大值、极小值;(2)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范畴解:(),因此由得或.因此函数在处获得极小值;在处获得极大值(2) 由于的对称轴为若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:,因此;若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:,因此综上,实数的取值范畴为 4(本小题共4分)已知,函数,, .()当时,求函数在点的切线方程;()求函数在的极值;()若在区间上至少存在一种实数,使成立,求正实数的取值范畴解: 由求导得,. 1分()当时, 3分因此在点的切线方程是 4分 ()令, (1)当即时(-1,0)000+极大值极小值 分故的极大值是;极小值是; 7分(2) 当即时 在上递增, 在上递减, 8分因此的极大值为,无极小值. 9分 ()设 对求导,得, 10分由于,因此,在区间上为增函数,则. 1分依题意,只需,即,即,解得或(舍去).因此正实数的取值范畴是. 4分.(本小题满分4分)已知函数.()若,求曲线在处切线的斜率;()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范畴. 转化为. 解:()由已知, 分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时,由于,故,因此,的单调递增区间为. 分当时,由,得.在区间上,在区间上,因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为 8分()由已知,转化为. 9分 10分由()知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意(或者举出反例:存在,故不符合题意.) 11分当时,在上单调递增,在上单调递减,故的极大值即为最大值,, 13分因此,解得. 1分6(本小题共14分)已知函数(1)当时,求函数的单调递增区间; ()若函数在区间(,0)上至少有一种极值,求实数的取值范畴。解()当时,1分,分令得3分在(-,1)上单调递增4分(),分当时,易知在处获得极小值,适合题意;时,函数在区间(-,0)上至少有一种极值,则阐明的图像穿过轴负半轴;为二次函数,则或11分解得或13分综上,时满足题意14分 (海淀一模理18)(本小题共13分)已知函数,()若,求函数的极值;()设函数,求函数的单调区间;()若在()上存在一点,使得成立,求的取值范畴.解:()的定义域为, 1分当时,, , 2分10极小3分因此在处获得极小值1. 分(), 分当时,即时,在上,在上,因此在上单调递减,在上单调递增; 分当,即时,在上,因此,函数在上单调递增. 分(II)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值不不小于零. 分由()可知即,即时, 在上单调递减,因此的最小值为,由可得,由于,因此; 1分当,即时,在上单调递增,因此最小值为,由可得; 1分当,即时, 可得最小值为,由于,因此, 故 此时,不成立 12分综上讨论可得所求的范畴是:或. 13分 8 (本小题满分4分)已知函数,其中 .()讨论的单调性;()若在其定义域内为增函数,求正实数的取值范畴;()设函数, 当时,若,总有成立,求实数的取值范畴 【解】()的定义域为,且, 1分 当时,,在上单调递增; 2分 当时,由,得;由,得;故在上单调递减,在上单调递增 4分(),的定义域为 5分由于在其定义域内为增函数,因此,而,当且仅当时取等号,因此 分()当时,, 由得或当时,;当时,因此在上, 10分而“,,总有成立”等价于“在上的最大值不不不小于在上的最大值”而在上的最大值为注意不能用构造函数的措施,由于定义域不同。因此有 12分因此实数的取值范畴是 1分
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