正方形专题一-正方形中的三垂直结构一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。（1） 以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形 （三垂直模型）2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：拓展：双三垂直相关结论：1.若ADC和CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DFEF则DF=EF. 2.若ADC和CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DF=EF则DFEF. 3.若ADC为等腰直角三角形，DF=EF，DFEF则CBE为等腰直角三角形例1如图，在正方形ABCD中（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQMN成立吗？为什么？ 例2如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AMMN于M，CNMN于N，BRMN于R（1）求证：ADMDCN：（2）求证：MN=AM+CN；（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想 例3如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1l2l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（） 例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B（a,b）在第四象限且满足（1）求点B的坐标；（2），E,F为OC,OA上的动点，连接BE，CF交于M点，满足OEF=45，是否存在点E,F，使得BECF？若存在，求出E,F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）F在线段OA上，连BF，作OMBF于M，ANBF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化若变化，求出变化的范围；若不变，求其值例5如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0， b），且a 、b满足 + |4b|=0 （1）求A、B两点的坐标； （2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证BDO=EDA； （3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtPBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.ABODEFyxABOMPQxy例题6、1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 例7、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想例8.如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，DAE的平分线交CD于F，BGAF于G，交AE于H（1）如图1，DEA=60，求证：AH=DF；（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是ADE中与DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）例9.操作，将一把含45的直三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为，求与之间的函数关系式。（3）当点P在线段AC上滑行时，PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。 课堂练习1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F。求证：（1）APEF；（2）APEF。 4、.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由 5、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB于G，AG交BD于点F，则OEOF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。 6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M求证：AMDF