第十节函数与方程1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解知识梳理一、函数的零点1定义：一般的，如果函数yf(x)在_，即 f(a)0，则_叫做这个函数的零点2函数的零点存在性定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是_，并且在_，即_，则函数yf(x)在_，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数根3函数的零点具有下列性质：当它_(不是偶次零点)时函数值_，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号二、二分法1定义：对于区间a，b上图象连续不断的，且f(a) f(b)0 的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法2用二分法求函数零点的近似值的步骤第一步：_第二步：_第三步：_(1)若_，则x1就是函数f(x)的零点；(2)若_，则令bx1；(3)若_，则令ax1.第四步：判断是否达到精确度，即若_，则得到零点近似值a(或b)否则，重复第二、三、四步注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果，所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算；(2)二分法的条件f(a)f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点三、一元二次方程根的分布问题关键是抓住方程ax2bxc0(a0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑二次方程f(x)ax2bxc0的实根分布及条件：(1)方程f(x)0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；(2)二次方程f(x)0的两根都大于r (3)二次方程f(x)0在区间(p，q)内有两根(4)二次方程f(x)0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0或f(p)0或f(q)0，检验另一根在(p，q)内成立一、1.实数a处的值等于零a2.连续不间断的区间端点的函数值符号相反f(a)f(b)0区间(a，b)内至少有一个零点3.通过零点变号二、2.确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度求区间 (a，b)的中点x1计算f(x1)(1)f(x1)0(2)f(a)f(x1) 0(3)f(x1)f(b)0|ab|基础自测1根据表中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：设f(x)ex(x2)，则由题设知f(1)0.280，f(2)3.390，故有一个根在区间(1,2)内答案：C2(2013河北名师俱乐部一模)下列函数中，在(1,1)上有零点且单调递增的是()Aylog2(x2)By2x1Cyx2Dyx2解析：在(1,1)上递增的函数只有ylog2(x2)和y2x1，又ylog2(x2)的零点为x1，y2x1的零点为x0.故选B.答案：B3如果函数f(x)x2mxm2的一个零点是0，则另一个零点是_解析：依题意知：m2.f(x)x22x.方程x22x0的另一个根为2，即函数f(x)的另一个零点是2.答案：24方程x22ax40的两根均大于1，则实数a的取值范围是_解析：(法一)利用韦达定理设方程x22ax40的两根为x1，x2，则解得2a.(法二)利用二次函数图象的特征设f(x)x22ax4，则解得2a.答案： 1(2012湖北卷)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：由f(x)0，得x0或cos x20，即x2k，kZ.又x0,4，k0,1,2,3,4.共有6个解故选C.答案：C2(2013天津卷)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：2x|log0.5x|10|log0.5x|log0.5x|x，画这两个函数的图象，由图可知选项B正确答案：B1(2012东北三省四市教研协作体调研)若a2，则函数f(x)x3ax21在(0,2)内零点的个数为()A3 B2 C1 D0解析：f(x)x22ax，由a2可知，f(x)在x(0,2)恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减又f(0)10，f(2)4a10，f(x)在(0,2)只有一个零点故选C.答案：C2(2013湛江一模)函数f(x)|x2|ln x在定义域内零点的个数为()A0 B1 C2 D3解析：由题意，函数f(x)的定义域为(0，)；由函数零点的定义，f(x)在(0，)内的零点即是方程|x2|lnx0的根令y1|x2|，y2ln x(x0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选C.答案：C