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1.4 行列式的性质一、行列式的性质转置行列式的定义:设 称为行列式D的转置行列式。性质1:行列式与它的转置行列式相等,即。证明:记的转置行列式按定义,又因为行列式D可表示为:,所以。注:行列式的等价定义与性质1告诉我们行列式的行和列具有同等的地位,所以后面对行成立的性质对列也一样成立。性质2:互换行列式的两行(列), 行列式变号。证明用行列式定义考虑两行列式的对应项的符号即可,略。例如: 推论1:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数 k 乘此行列式。证明直接用定义即可,略。 推论2:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。证明:由性质3以及推论1可得: =0性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如,则。证明直接用定义即可,略。性质6:把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行 (列)对应的元素上去,行列式不变。证明由性质5及性质4可得,略。例如:二、行列式性质的应用举例计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。例1:计算五阶行列式解:例2:计算n阶行列式解:将第列都加到第1列得:三、小结1. 行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立)。2. 计算行列式的常用方法:(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。1
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