第八章 多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。一、教学目标与基本要求(1) 理解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。(4) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(5) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。(6) 了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。(7) 理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。(8) 理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。(9) 熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。二、教学内容的重点及难点：重点：1 多元函数的极限与连续；2 偏导数的定义；全微分的定义3 多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4 多元函数的极值与最值的求法5 二重积分概念，二重积分的计算。难点：1 多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2 多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3 由方程组确定的隐函数的求导法则；4 条件极值的求法5 对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1 多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2 多元复合函数的求导法则的应用；3 由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4 利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5 将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6 利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。7. 二重积分概念的深刻背景8. 二重积分的换元积分法9. 重积分的实际应用8.1多元函数的基本概念一、内容要点1 平面点集 维空间2 多元函数的概念3 多元函数的极限4 多元函数的连续性二、教学要求和注意点教学要求： 1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。教学注意点：多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。说明1：把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为多元函数许多与一元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的。往往学生自以为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了。说明2：多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二重极限与二次极限的区别与两者的关系。说明3：在多元函数的范围内仍有基本初等函数和初等函数的概念。一、 平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、 邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即，称为P0点的邻域，记做：，简记；2、 内点：在平面点集，存在P0的一个邻域，使得，则称P0为的内点；3、 开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；4、 边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。【注】：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。5、 连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。6、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、 有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使，则称为有界区域，否则称为无界区域。8、 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。 【注】：平面点集中点的关系如图,其中： 二、 二元函数的极限和连续性1、 二元函数定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n1）； 2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称为多值函数。如：。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即中，x，y的取值范围。如：，其中的定义域就是。其二：我们给定的函数，使得z有确定取值的（x，y）的取值范围。如：，其定义域为：D=(x，y)| 。 4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。 5、两二元函数相等，即定义域相等且起对应法则也必须相等。【例】求的定义域。 解：显然要使得上式有意义。必须满足。2、 二重极限 定义2：设P0(x0，y0)为函数定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P（P0除外），以任何方式趋近P0时，即：，都有，则称在的P0二重极限为A。语言表示：，当时，恒有：，记：。三、求极限的方法1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依旧成立。如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。 例（1）、 （2 ）、 解：（1）：=e （2）： 又 原极限=02、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路径L1，L2，使得，但是函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数极限不存在。例讨论，在（0，0）处的极限。 解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。3、 二次极限与二重极限的关系称和为函数在点（x0,y0）的二次极限。【注】二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。例（1）显然有：，但是二次极限不存在。 （2）、上面例题说明，在（0，0）处的二重极限不存在。但是其二次极限=0。四、 函数的连续性及性质定义3：设P0是函数定义域D上的聚点，且，如果：，则称函数在点P0（x0,y0）连续，否则称该点为不连续点。【例】：任由上面例题可知，在（0，0）处是不连续的。【注】：1、等价定义：函数在点P0（x0,y0）连续（2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。例（1）、求极限 解： ，且 原极限=0性质1、（最大值和最小值）若函数在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。性质2、（介值定理）：设函数在有界闭区域D上连续，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，则对任何满足不等式的实数k，总存在P0（x0，y0）点，使得。特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值。8.2 偏导数一、内容要点1 偏导数的定义及其计算法2 高阶偏导数二、教学要求和注意点教学要求：理解多元函数偏导数的概念，并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道多元函数的连续性与偏导数之间的关系。教学注意点：在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高，即可导必连续，但连续不一定可导。而对多元函数而元，偏导数存在时，多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本质差别，应让学生举出反例，如说明1：多元函数的连续性要给出两种定义，补上精确的定义方式（即用“-”语言的定义方式，以便让学生能深刻理解多元函数连续的意义。说明2：闭区域上连续函数的性质与一元函数的情形几乎完全相同，不必多做解释。说明3：说明多元函数连续性和偏导数存在没有直接关系，这一点与一元函数的情形是根本不同的，原因是偏导数只有一维的变化概念，极限至少是二维的变化概念。说明4：混合导数与次序无关的条件在初等函数的范围内是很容易满足的，不必过分强调它的条件。 说明5：在二元函数的情况，函数在某一点可微的几何意义就是曲面在这一点有切平面存在。说明6：函数在某一点可微可以保证函数在该点的连续性和偏导数存在，但不能保证偏导数在这一点连续，可以举出反例。说明7：在所有介绍的条件中，偏导数的连续性是最强的。函数的偏导数在某一点连续可以保证函数在这一点可微、连续和偏导数存在。一、偏导数概念 偏增量： 全增量： 定义1：设函数在P0（x0，y0）的某邻域内有定义，。若存在，则称在P0（x0，y0）点关于x的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。 记做：、或者、，即：=同理：=偏导(函)数：如果函数在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、为的两个偏导(函)数。2、偏导数的计算【注】1、求对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求对y的偏导数时，将x视为常数，对y求导数。2、偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx。【例】（1）、设，则求， 解：， 视y为常数，则； 又，视z为常数，则； 又，视x为常数，则。同时，由上面计算可知。尤其注意在不等号的左边表达式是错误的。（2）、设在点（1，2）处的偏导数。，解：；（3）、设，。求f在（0，0）处的偏导数。解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义来求解。=3、求在P0（x0，y0）的偏导数的方法方法一：首先求出其偏导函数、，在代入该点的坐标值（x0，y0）。方法二：比如求时。通常我们先代入y=y0，得到，在对x求导数得，再代入x=x0。【例】：，求。解：，4、偏导数存在和函数连续的关系（1） 例题：，在（0，0）处的偏导数存在，但不连续。（2） 例题：，在（0，0）处连续，但是偏导数不存在。5、几何意义表示：曲面与平面y=y0相交的曲线Cx，在平面y=y0内在x=x0处的切线斜率。其中：，如图所示：一、高阶偏导数定义：设有函数，称，为函数