第一题： 泛函 常应变单元 形状因子可变化的函数称为可变函数，随可变函数而变的量，称为泛函。B 矩阵中的元素都是常量，单元中各点的应变分量也都是常量这种单元就是常应变单元N (x, y)(k = i, j,m)是节点坐标的函数，只决定于单元的形状、节点配置和插值方式， k所以把N (x,y)称为形状函数或者形状因子。k1虚位移场：在S上满足5 v = 0，在U内满足6农；二 U +5U )的位移场5 u成为虚位移场。 uiij 2D矩阵：与材料有关的弹性矩阵,对平面应力状态D J =B 矩 阵 ： 单 元 应 变 矩 阵 ,0它可 以 写成 分 块形式 B =001 -V2 _Bj, 而子矩 阵B =ici bi(i, j, m )由于b b C，C-C都是常量所以矩阵回中的元素都是常量,因而单元中各点的应变速率分量也都是常量,故通常称为这种单元为常应变单元。等参单元：具有相同的形式，用同样个数的相应结点值做参数，并具有完全相同的形状函数作为这些结点值前面的系数，具有这样特征的单元称为等参单元。第二题：采用能量法解平辊轧制矩形件：1、采用hill速度场，并设0= cb则得速度场如下：xU 1v =x ChbxxU 1 bbv v =y = v -x yy Chb bxbx x xxhv = v x zz x hx式中U = vhb，为秒流量；b = b (x)为轧件宽度的一半。C 0 0 0x xv由于=b，v y =bxxx2、由于v I则满足稳定轧制过程条件。= v h , v而 = -vxxxxbh、x + xIb h丿XX=v b 则该速度场满足表面的边界条件。xxy y =bxvv =b, = h y b x z hx由于 + + = 0满足体积不变条件。 xyzb 1 f,3、 按塑性变分原理，泛函0 = N + N + N应取极小值。内部变形功率N = 4pUJp(x)dxd f sd2 0摩擦功率N = 4-UmJlQ(x)dxN为出入口的剪切功率。fV30sp(x) = (b ,b ,b,x)式中：x x xQ(x) = (b ,b ,x ,x)xxn使泛函求极值的函数b可由如下欧拉方程确定：xdF d dF d 2 dF一 。0+= 0而中性面坐标由dbdx db dx db6xxxx_n4、用里兹法求0的近似极值系数b (x)贝y0=0(b ,b,b,x) = J1F(b ,b,b”,x ,x)dx0xxxxxxn= 0 确定。设 b (x) = b + a x + (0x01l 2把上式带入泛函 中，有孔0da25、由于上述方程组是非线性的，使用Newton-Laphson法线性化，令三个方程为: f (x ) = 0(i, j = 1,2,3)线性化后有：f = f (x0) + fij3b a2aa2b a2 1) x 2 + (f 皆T ll 2l3 =0(a ,a ,x )12n可通过異=0da1x ，求出 b (x) 。 nxd=0解出a a dx12ndx = 0x . = x0 j12从而求出 dx dx dx 然后迭代计算，直到得出符合要求的解。36、求出b (x)之后，便可求出功和功率等。x 第三题：刚塑性有限元的解法有拉格朗日乘子法、体积可压缩法和罚函数法。拉格朗日乘子法能量泛函表达式：1、把刚塑性材料不完全变分原理写成矩阵形式：=”尉J T s dv JJ vT pds + BJ九 T cdvvspv2、将连续体离散化成共有m个单元的n个节点，则对第e个单元，单元能量泛函：Pe =：-O jjj(ueT BT Bue )1/2 dv jju eT N pds + BKueT Bt Cdv 3 sves evp其中： = P e =p (u , U ,U ,九,九九)1 23 n 1 2 me=18九)=0由于8 v和8九是任意的独立变量，所以有 d九j1 jj (竽8九)=0 = 1,2,3,4m)d九je=1jdp edp e先求丽：和d九edv JJveT N pds + fffxe veT BtCdvesep3、求泛函的极值条件：8 (学 dv e=1i迟(竽8 v )二 0 (i= 1,2,3,43n) dvie=1i由以上m+3n个方程联立求出v和九； is2竺*dve(veT Bt Bve)1/2BT Bve二 M CTBvedvdp ed九eve然后对所有单元组合，使得到的未知数个数相同的联立方程组。但此方程组关于V是非线性的，所 以采用摄动法进行线性化。线性化之后，得到线性方程组，便可以得出V的收敛解。拉格朗日法与罚函数相比，由于前者引入了拉格朗日乘子，若单元数目很大，这个附加的未知量将会 增加联立方程数目或者增加系数矩阵的带宽，从而增加了计算时间，体积可压缩法和罚函数法虽然避 免了附加未知量，但若初始速度场设定不好，会导致非常大，难以得出正确解。vm四 弹性有限元单元总势能表达式：弹塑性有限元单元总势能表达式：pe =1JJJ(ueTBtD Bue)1/2dv -JJueTNqds2epeves1D 为单元弹性矩阵 D 为弹塑性矩阵。ep异同点：当物体产生塑性变形后，塑性变形区内的几何方程和平衡方程与弹性变形时相同，但是，其 应力应变关系，则由线性变成非线性的，应力和应变也不在一一对应。弹塑性有限元不能一步得出结 果，可以使用变刚度法或初载荷法求解。D 只与加载前的应力水平有关，而与增量无关，又由于位移插值函数、位移应变的几何关系与 ep弹性变形时相同，所以对于每次加载，解弹塑性问题都可用弹性有限元法完全相同的计算格式相同。四给出弹、塑性有限元单元总势能泛函的矩阵表达式，概述两种解法的主要异同。弹性有限元：弹塑性：申e-BJ ueT BT Dbue dV2 vee-U ueT In t pdSspAUeT S 4 S AUedV -AUeT AF eeep相同点：计算格式相同，几何方程、平衡方程相同不同点： 1.弹性有限元应力应变关系是线性的，弹塑性有限元是非线性的，应力和应变不算一一对应。_ =jJJ(B bBdVve血d b2.刚度矩阵不同。弹性：Ke弹塑性：Keepv e3.使用范围不同。弹性有限元适用于未屈服的弹性状态dVe弹塑性有限元适用于塑性变形状态。第五题：1、K K K 为o矩阵，K矩阵时一个稀疏阵，这种稀疏阵的形成是由于整体刚度矩61 62 64阵是把全部单元刚度矩阵按节点编号叠加所致。对于K ，只有当下下标r=s，或者r和s同属一个单 rs元节点的号码时，才不为零，其它都为0。整体刚度矩阵K,的非零元素成带状分布在主元素附近。2、整体刚度矩阵K的主要性质为：1) K中每列元素的物理意义是某一节点的坐标轴方向发生单位位移，而其它节点位移都约束为0 时，在所有节点上坐标轴方向需施加的节点力；2) K的主元素是正定的；K是一个对称矩阵；K是一个稀疏阵；K是一个奇异阵，当排除刚性 位移后是正定阵。3、自由度为 2；半带宽为 8;4、下半带宽的行为第5行、半带宽内元素的列为4列，元素个数为8个，子矩阵个数为4个。五 单元类型：四边形环等参单元；速度差值公式N = (1 + k申)(1 +耳 J)(k=1,2,34);形参矩阵NK4N自由度 f=2;vV = r = NVe evzN0N0N=1230N0N012；形函数计算通式0N4N03;2应变速度列阵忙e = Sr S0C=CT =1 1 1 0T ;3表面力列阵P=r f；4 速度边界条件： r=0 时，z=0 时，z=h0 时，S rzT = BV e；=vr 3r 5= v =0;=0;v =vr1v z1 z 2 vz5=vz6=-v0 单元的速度摄动量列阵： Av =Avir 25 摄动量组合后联立方程组的个数与特点：初始速度场AvB由几何方程确定，4行8列,v =v =v =v r /2hr2 r4 r6 0 00v =v =-z3 z4 0/2Avr4AVz4几1T，与单元叠加7：1理论上2n+m=2x6+2=14个方程组，实际上只有3个方程z3组，因为 7 个速度已知，考虑到速度边界条件以摄动法解析时每个单元方程个数是5，结合后的方程组含有7个方程组；拉氏乘子数：2个，叠加结点数2个(结点3、4)，摄动后矩阵sT的结数：7:7； k -1收敛判据：lAvJ 某个小数8，式中|Av|=X Av 2，|v|=忸v 2V i=1 iH i=1 i一 名词解释1虚位移场：在S上满足8 v = 0，在u内满足8sij = (8u . +8u.)的位移场8u成为虚位移场。uiij 2i , jj , ii001 V2B矩阵：单元应变矩阵，它可以写成分块形式LB =而子矩阵LB =ici bi(i, j, m )D矩阵：与材料有关的弹性矩阵，对平面应力状态1L D J =于b ,b ,b ,c ,c c都是常量，所以矩阵B中的元素都是常量，因而单元中各点的应变速率分量也都是 i j m i j m常量，故通常称为这种单元为常应变单元。等参单元：具有相同的形式，用同样个数的相应结点值做参数，并具有完全相同的形状函数作为这些结点值前面的系数具有这样特征的单元称为等参单元。二 结合实例说明能量法(变分法)解析的主要步骤：小林史郎三维轧制1) Hill 速度场：门 y d 1y 0门 Z d 1Z hh 0 y h dx 0 h 0 2 z 0 dx h 0 h 2 xxxx 1 1 db yb取=cbx，得 vx = chbxx2),v = = v r yy c h b dx b x