中考数学专题探究-面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MCOA于点C，MDOB于D（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与AOB重叠部分的面积为S试求S与的函数关系式并画出该函数的图象BxyMCDOA图12（1）BxyOA图12（2）BxyOA图12（3）解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为x+4（0x0，x+40）； 则：MCx+4x+4，MDxx；C四边形OCMD2（MC+MD）2（x+4+x）8当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMDMCMD（x+4） xx2+4x(x-2)2+4四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0x4）的二次函数，并且当x2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当时，；如图10（3），当时，；S与的函数的图象如下图所示：02424S的函数关系式并画出该函数的图象2、（2009宁夏）已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；CPQBAMN（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形 的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围解：（1）过点作，垂足为则，当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，四边形是矩形，秒时，四边形是矩形，（2）当时，CPQBAMNCPQBAMN当时当时，CPQBAMN3、（2010年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） OMNHACEFDB8(6，4)xy（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4）， 则抛物线关系式为 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 解得所求抛物线关系式为：（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG4、如图所示，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；PQABCD（第28题）（3）求与之间的函数关系式解：（1）6（2）8（3）当0时，Q1ABCDQ2P3Q3EP2P1O当3时，=当时，设与交于点(解法一)过作则为等边三角形（解法二）如右图，过点作于点，于点P3OABCDQ3GHF过点作交延长线于点又又考点2、面积最值问题典型例题：1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值图11解（1）t4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是(2)当QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t由得,S当t取5时，最大值为当t取6时，有最大值综上所述，最大值为二、名题精练：1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上已知某二次函数的图象经过、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点（1）求该二次函数的解析式；xyBFOACPx=1（第25题）（2）若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标解：（1）设二次函数的解析式为，由抛物线的对称性知点坐标为依题意得：xyBFOACPx=1（第25题）解得：所求二次函数的解析式为（2）点的横坐标为点的纵坐标为设直线的解析式为依题意，得故直线的解析式为点的坐标为（3）的面积=当时，的最大面积为把代入得点的坐标为2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2 AOB=30,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t秒。 （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 。（2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。4、（2009年湖北恩施）图12EDBCABCA如图12，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 即 (2)BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5当0 时 （3）10时，点A落在三角形的外部,其重叠部分为梯形SADE=SADE= DE边上的高AH=AH=由已知求得AF=5AF=AA-AF=x-5由AMNADE知 （4）在函数中0x5当x=5时y最大为： 在函数中当时y最大为：当时，y最大为：