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第2讲函数的定义域和值域1常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域为R(4)yax(a0且a1),ysin x,ycos x,定义域均为R(5)ytan x的定义域为x|xk,kZ2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R(2)yax2bxc(a0)的值域是:当a0时,值域为;当a0时,值域为(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R(6)ysin x,ycos x的值域是1,1(7)ytan x的值域是R做一做1(2015浙江杭州模拟)函数y的值域是 解析:.4x0,0164x16,0y4.2函数y的定义域为_答案:1,2)(2,) 1求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接2求函数值域的六种基本方法(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域(2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法:形如yaxb(a,b,c,d均为常数,且a0)的函数常用换元法求值域,形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法:形如y(a0)的函数可用此法求值域(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(6)数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域做一做3函数y的定义域是 答案:(2,3)(3,)4若有意义,则函数yx26x7的值域是_解析:有意义,x40,即x4.又yx26x7(x3)22,ymin(43)22121.其值域为1,)答案:1,)_求函数的定义域(高频考点)_函数的定义域是高考的重点内容,考查时多以选择题和填空题形式出现,一般难度较小,高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度:(1)求分式型函数的定义域;(2)求无理型函数的定义域;(3)求对数型函数的定义域;(4)求抽象函数的定义域(1)(2015广东惠州第二次调研)函数f(x)log2(3x1)的定义域为 (2)函数f(x)的定义域为_(3)(2015山东莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为3,6,则函数y的定义域为 解析(1)要使函数有意义,必须满足3x10,解得x0,.(2)由0x1或1x2. (3)要使函数y有意义,需满足x0且a1),结果如何?解:由0x2,故所求函数的定义域为(0,2规律方法简单函数定义域的类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域,是指满足ag(x)b的x的取值范围,而已知f(g(x)的定义域是a,b,指的是xa,b1.(1)(2013高考山东卷)函数f(x)的定义域为 (2)函数y(x1)0的定义域是_(3)(2015广东佛山模拟)已知f(x21)的定义域为0,3,则函数yf(x)的定义域为_解析:(1)由题意知解得3x0,所以函数f(x)的定义域为(3,0, (2)由,得所以3x2且x1,故所求函数的定义域为x|3x2且x1(3)0x3,0x29,1x218,函数yf(x)的定义域是1,8_求函数的值域_求下列函数的值域(1)yx22x(x0,3);(2)y;(3)yx(x0);(4)f(x)x.解(1)(配方法)yx22x(x1)21,y(x1)21在0,3上为增函数,0y15,即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1,1x21,02.111.即y(1,1函数的值域为(1,1(3)x0,x4,当且仅当x2时等号成立,y(,4函数的值域为(,4(4)法一:(换元法)令t,则t0且x,于是yt(t1)21,由于t0,所以y,故函数的值域是.法二:(单调性法)f(x)的定义域为,容易判断f(x)为增函数,所以f(x)f,即函数的值域是.规律方法求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,而常用的方法有:(1)观察法;(2)配方法;(3)换元法;(4)分离常数法;(5)单调性法;(6)数形结合法在求函数值域时,除了上述常用的方法外,还有很多方法,应注意选择最优的解法总之,求函数值域的关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约2.求下列函数的值域:(1)y;(2)y;(3)ylog3xlogx31(x1)解:(1)法一:y1.因为0,所以11,即函数的值域是y|yR,y1法二:由y,得yxyx3.解得x,所以y1,即函数的值域是y|yR,y1(2)y1,x2x1,0,y1,即函数的值域为.(3)ylog3x1,令log3xt,则yt1(t0),x1,t0,y211,当且仅当t即log3x1,x3时,等号成立,故函数的值域是1,)_与函数定义域、值域有关的参数问题_若函数y的定义域为R,则实数m的取值范围是 解析要使函数的定义域为R,则mx24mx30恒成立当m0时,得到不等式30,恒成立;当m0时,要使不等式恒成立,须即或即解得0m.由得0m.规律方法求解定义域为R或值域为R的函数问题时,都是依据题意对问题进行转化,转化为不等式恒成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判别式法,二是利用分离参数法,有时还可利用数形结合法3.已知函数f(x)1的定义域是a,b(a,bZ),值域是0,1,则满足条件的整数数对(a,b)共有_个解析:由011,即12,得0|x|2,满足整数数对的有(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2),共5个答案:5
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