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福建师范大学21秋常微分方程在线作业三答案参考1. 重排级数,使它成为发散级数重排级数,使它成为发散级数将原级数展开,引用括号且适当重排为 这样,取时有 即这样重排后级数发散 2. 给定三点Ai(xi,yi),i=1,2,3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心给定三点Ai(xi,yi),i=1,2,3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心记,则为A1A2A3的重心 设拟合直线为 y=a+bx, (5.7) 则a,b满足正规方程组 其中s0=3,考虑第一个方程 两边同除以3得,即点在直线(5.7)式上因而按最小二乘拟合三点Ai(i=1,2,3)的直线过A1A2A3的重心 3. 设f(x)在a,+)上连续且取得正值和负值,又,则f(x)在a,+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a,+)上连续且取得正值和负值,又,则f(x)在a,+)上必取得最大值和最小值证 由假设,f(x)在a,+)上取得正值,故有x0a,+),f(x0)0.由于,故对=f(x0)0,当xX时,有 显然x0a,X.由于f(x)在a,X上连续,故f(x)在a,X上必取得最大值M,且Mf(x0)而当xX时,f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa,+)这就证明了f(x)在a,+)上必取得最大值 类似地,可以证明f(x)在a,+)上必取得最小值. 4. 描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。该函数的定义域为(-,+),且函数为偶函数,因此,只要作出它在(0,+)内的图形,即可根据其对称性得到它的全部图形。 求其一、二阶导数,得 y=-2xe-x2 y=2e-x2(2x2-1), 令y=0,得驻点x=0, 令y=0,得, 当x时y0,所以y=0为该函数图形的水平渐近线。 讨论y,y的正负情况,确定函数y=e-x2的增减区间和极值、凹凸区间和拐点,将上述结果归结为表3-16。 根据以上讨论,即可描绘所给函数的图形。 5. (哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式,其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1,(k=1,2,n). 则(哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式,其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1,(k=1,2,n).则必|A|1证明要应用拉格朗日乘数法来证显然本题中的辅助方程(条件方程)为 k=ak12+ak22+akn2-1=0,(k=1,2,n) 以k表乘数,置 于是从方程 得等式Ajk+jajk=0其中Ajk为A中之ajk元素所对应的子行列式 于等式两端乘以ajk并对k=1,2,n而求和,则得 A+j=0,(j=1,2,n)因之,j=-A亦即Ajk=Aajk,(j,k=1,2,n)故得出 ,亦即An-1=An+1由于A的极大极小值必须合于上列方程,故不难推知A的极大值为+1,极小值为-1因此|A|1 6. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如,(N,+),(Q,-),(R,),(R-0,)7. 已知向量a=(1,-11),b=(2,0,1)c=(0,1,3),则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。已知向量a=(1,-11),b=(2,0,1)c=(0,1,3),则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。78. 下列各微分式不正确的是( )。A.xdx=d(x2)B.cos2xdx=d(sin2x)C.dx=-d(5-x)D.d(x2)=(dx)2参考答案:ABD9. 据理回答: (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答: (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数,若“所有下和(或上和)都相等”,是否仍有(2)的结论?正确答案:10. 若一个向量乘以 i,则可以理解为:A、旋转90度B、旋转180度C、乘以1D、乘以1若一个向量乘以 i,则可以理解为:A、旋转90度B、旋转180度C、乘以-1D、乘以1正确答案: A11. 二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例( )二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例()正确12. 直线y=0是曲线y=e-x的水平渐近线。( )A.正确B.错误参考答案:A13. 解方程组 试用平方根法和追赶法分别解之。解方程组试用平方根法和追赶法分别解之。(1)平方根法A=LLT , , , 所以 由,解得 由,解得 (2)追赶法此方程组系数阵是三对角阵,且满足对角占优条件。 根据追赶法计算公式,有 2=a2=1,3=a3=1,1=b1=6, , 从而 解Ly=b ,得 解Ux=y ,得 14. 某环节的传遇函数为2s,则它的幅频特性的数字表达式是_,相频特性的数学表达式是_。某环节的传遇函数为2s,则它的幅频特性的数字表达式是_,相频特性的数学表达式是_。参考答案:. A()=2 () =9015. 设A是n阶矩阵(n2),求证:detA*=(detA)n-1设A是n阶矩阵(n2),求证:detA*=(detA)n-1因为AA*=|A|E, (1) 若|A|=0,则|A*|=0(反证) 若|A*|0,则A*-1可逆,用(A*)-1右乘式的两边,得A=|A|(A*)-1=0,从而A的n-1阶代数余子式都为0,故A*=0,与|A*|0矛盾,所以当|A|=0时,|A*|=0 则|A*|=|A|n-1显然成立 (2) 当|A|0时,在式的两边取行列式,得 |A|A*|=|A|E|=|A|n 则|A*|=|A|n-1 16. 给定环(5x|xZ,+,),其中Z是整数集,+和是普通的加法和乘法,它_整环,因为_给定环(5x|xZ,+,),其中Z是整数集,+和是普通的加法和乘法,它_整环,因为_不是$没有乘单位元素17. 以下两种陈述有何差别? (1)A1,An有一个发生; (2)A1,An恰有一个发生以下两种陈述有何差别?(1)A1,An有一个发生;(2)A1,An恰有一个发生在陈述(1),(2)中都包含了A1,An只发生一个的情况但在陈述(2)排除了A1,An中有2个或2个以上同时发生的情况,而对陈述(1)并未将这些情况排除在外,事实上我们可表述如下: A1,An有一个发生=A1An, 18. y+4y&39;+4y=xe-2x的特解,应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y+4y+4y=xe-2x的特解,应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式()正确19. 微分方程y2yy0的一个特解是( )Ayx2exByexCyx3exDyex微分方程y2yy0的一个特解是( )Ayx2exByexCyx3exDyex正确答案:B20. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0,0) (B)(0,1) (C)(1,0) (D)(,)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(,)D因为=y(1-2x-y),=x(1-x-2y) 令,即 解得:, 又因为 , 当(x,y)=(0,0)时,A=0,B=1,C=0,B2-AC=10,所以,点(0,0)不是极值点 当(x,y)=(0,1)时,A=-2,B=-1,C=0,B2-AC=10,所以,点(0,1)不是极值点 当(x,y)=(1,0)时,A=0,B=-1,C=-2,B2-AC=10,所以点(1,0)不是极值点, 当(x,y)=(,)时,A=-,B=-,C=-,B2-AC=-0且A0,所以,点(,)是函数的极大值点 故应选(D). 21. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行; (2)四角相等; (3)四边相等;问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行; (2)四角相等; (3)四边相等; (4)对角线互相平分; (5)对角线互相垂直; (6)对角线是角的平分线; (7)对角线相等; (8)面积等于一边的平方正确答案:(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质22. 对10名正常男子空腹测定血糖结果为93,102,110,98,109,92,97,102,100,103(mg%),求正常男子的空腹血糖值的95%对10名正常男子空腹测定血糖结果为93,102,110,98,109,92,97,102,100,103(mg%),求正常男子的空腹血糖值的95%可信区间。正常男子的空腹血糖值的95%可信区间是 96.3m104.9 23. 已知1,2为2维列向量,矩阵A=(21+2,1-2),B=(1,2)若行列式|A|=6,则|B|=_已知1,2为2维列向量,矩阵A=(21+2,1-2),B=(1,2)若行列式|A|=6,则|B|=_-2 其中,|C|=-30 所以B=AC-1, 从而|B|=|A|C|-1=-2 方法点击 也可用行列式性质来解:|A|=|21+2,1-2|-|31,1-2|=3|1,1-2|=3|1,-2|=-3|1,2|=-3|B|,故|B|=2 24. 甲、乙两人同时向一敌机射击,已知甲击中的概率为0.6,乙击中的概率为0.5
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