新教材适用高中必修数学高中数学 3.4.1基本不等式（一）练习 新人教A版必修5基础梳理1两个正数的算术平均数与几何平均数设a，b是任意两个正数，称为a，b的_；称为a，b的_1和9的算术平均数是_，而1和9的几何平均数是_2重要不等式：设a，bR，a2b22ab(ab)20，_当且仅当_时，等号成立3基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么.当且仅当_时，等号成立基本不等式可叙述为：两个正数的_如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的_4基本不等式的几何意义是：_5已知x，y都是正数，(1)如果积xy是定值P，那么当xy时，和_有最小值_；(2)如果和xy是定值S，那么当xy时，积_有最大值_(3)已知x，y都是正数，如果xy15，则xy的最小值是_；如果xy15，则xy的最大值是_6求函数最值的两个基本步骤：(1)证ym(m是与自变量无关的常数)或yM(M是与自变量无关的常数)；(2)证存在定义域中的x0，使f(x0)m 或f(x0)M.有了这两步就可以下结论：yf(x)的最小值是m或yf(x)的最大值是M. 基础梳理1算术平均数几何平均数532a2b22abab3ab算术平均数不小于它们的几何平均数等差中项不小于它们的等比中项4半径不小于半弦5解析：x，yR，.(1)当xyP(定值)时，xy2，当且仅当xy时，上式取“”，当xy时，(xy)min2.(2)当xyS(定值)时，xyS2，当且仅当xy时，上式取“”，当xy时，(xy)maxS2.(3)因为x，y都是正数，且xy15，由基本不等式得xy22，当且仅当xy时，取等号因为x，y都是正数，且xy15，由基本不等式得xy，当且仅当xy7.5时，取等号答案：(1)xy2(2)xyS2(3)2自测自评1下列函数中，能取到最小值2的是()Ayx(x0，b0，ab4，则下列不等式中正确的是()A.1 B.1C.2 D.14解析：a0，b0，2ab4，即2.C、D不正确又1，A正确，B不正确故选A.答案：A5(2014上海卷)若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_5解析：x22y2222，当且仅当x22y2时等号成立答案：26已知a，b，c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.6证明：a，b，c都是正数，ab20，bc20，ca20，(ab)(bc)(ca)2228abc，即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时等号成立巩固提高7已知x、y0且xy1，则pxy的最小值为()A3 B4 C5 D67解析：此题很容易出错，认为x2，y2，p4，错选B，错误的原因是x、y不能同时取到1.正确解法：xy3325.答案：C8设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D88解析：2a2b2224，等号成立，当且仅当2a2b.即ab，故选B.答案：B9已知函数f(x)x.(1)已知x0，求函数f(x)的最小值；(2)已知x0，x22，当且仅当x，即x1时等号成立f(x)最小值为2.(2)x0.f(x)22，当且仅当x，即x1时等号成立f(x)的最大值为2.(3)设2x1x24，则f(x1)f(x2)x1.2x1x24，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)1)的最小值10解析：x1，x10.y(x1)5259.当且仅当x1，即x1时，等号成立当x1时，函数y(x1)取得最小值为1基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换2“当且仅当ab时，等号成立”的含义(1)当ab时等号成立的含意是：ab；(2)仅当ab时等号成立的含意是：ab.综合起来，其含意是： ab.3设a，bR，不等式a2b22ababab.4基本不等式的几种变式：设a0，b0，则a2，2，2ab.