.1如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点Al，0，B3，0，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD1求抛物线的解析式2假设点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标3在2的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标3如图，抛物线y=ax2+bx3过点A1，0，B3，0，点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E过点N作NFx轴，垂足为点F1求二次函数y=ax2+bx3的表达式；2假设M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；3假设M点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点M的横坐标4.(2015 省地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1，0，B3，0两点，顶点M关于x轴的对称点是M1求抛物线的解析式；2假设直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；3是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？假设存在，求出此抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由5. (2016 省市) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标6. (2016 省市) 如图，抛物线y=x2+bx+c经过A1，0，B3，0两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD1求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；2点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；3在2的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标二次函数专题训练正方形的存在性问题参考答案1如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点Al，0，B3，0，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD1求抛物线的解析式2假设点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标3在2的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标【解答】解：1抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A1，0，B3，0，抛物线的解析式为y=x2+2x3；2由1知，抛物线的解析式为y=x2+2x3；C0，3，抛物线的顶点D1，4，E1，0，设直线BD的解析式为y=mx+n，直线BD的解析式为y=2x6，设点Pa，2a6，C0，3，E1，0，根据勾股定理得，PE2=a+12+2a62，PC2=a2+2a6+32，PC=PE，a+12+2a62=a2+2a6+32，a=2，y=226=2，P2，2，3如图，作PFx轴于F，F2，0，设Md，0，Gd，d2+2d3，N2，d2+2d3，以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d=或d=，点M的坐标为，0，0，0，02如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标【解答】解：1把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=x22+8，D2，8；2如图1，过F作FGx轴于点G，设Fx，x2+2x+6，那么FG=|x2+2x+6|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，=，B6，0，D2，8，E2，0，BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，=，当点F在x轴上方时，有=，解得x=1或x=6舍去，此时F点的坐标为1，；当点F在x轴下方时，有=，解得x=3或x=6舍去，此时F点坐标为3，；综上可知F点的坐标为1，或3，；3如图2，设对角线MN、PQ交于点O，点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q2，2n，那么M坐标为2n，n，点M在抛物线y=x2+2x+6的图象上，n=2n2+22n+6，解得n=1+或n=1，满足条件的点Q有两个，其坐标分别为2，2+2或2，223如图，抛物线y=ax2+bx3过点A1，0，B3，0，点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E过点N作NFx轴，垂足为点F1求二次函数y=ax2+bx3的表达式；2假设M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；3假设M点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点M的横坐标【解答】解：1把A1，0，B3，0代入y=ax2+bx3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x22x3；2由1知，抛物线解析式为：y=x22x3=x124，该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为1，4如图，设点M坐标为m，m22m3，其中m1，ME=|m2+2m+3|，M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，点N的横坐标为2m，MN=2m2，四边形MNFE为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2时，解得：m1=、m2=不符合题意，舍去，当m=时，正方形的面积为222=248；当m2+2m+3=22m时，解得：m3=2+，m4=2不符合题意，舍去，当m=2+时，正方形的面积为22+22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或2483设BC所在直线解析式为y=px+q，把点B3，0、C0，3代入表达式，得：，解得：，直线BC的函数表达式为y=x3，设点M的坐标为t，t22t3，其中t1，那么点N2t，t22t3，点Dt，t3，MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t23t|=22t，分两种情况：当t23t=22t时，解得t1=1，t2=2不符合题意，舍去当3tt2=22t时，解得t3=，t2=不符合题意，舍去综上所述，点M的横坐标为1或4.(2015 省地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1，0，B3，0两点，顶点M关于x轴的对称点是M1求抛物线的解析式；2假设直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；3是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？假设存在，求出此抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由分析： 1根据待定系数法，可得函数解析式；2根据轴对称，可得M的坐标，根据待定系数法，可得AM的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；3根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式解答：解：1将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x22x3；2将抛物线的解析式化为顶点式，得y=x124，M点的坐标为1，4，M点的坐标为1，4，设AM的解析式为y=kx+b，将A、M点的坐标代入，得，解得，AM的解析式为y=2x+2，联立AM与抛物线，得，解得，C点坐标为5，12SABC=412=24；3存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，由ABPQ是正方形，A1，0B3，0，得P1，2，Q1，2，或P1，2，Q1，2，当顶点P1，2时，设抛物线的解析式为y=ax122，将A点坐标代入函数解析式，得a1122=0，解得a=，抛物线的解析式为y=x122，当P1，2时，设抛物线的解析式为y=ax12+2，将A点坐标代入函数解析式，得a112+2=0，解得a=，抛物线的解析式为y=