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-第1-3章:消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质完备性,传递性,连续性,严格单调性,严格凸性等等*二、效用函数存在性证明。请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理,并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者,当物品价格为2,4时,其需求为1,2。当价格为6,3时,其需求为2,1,该消费者是否满足显示性偏好弱公理。如果1.4,1时,该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答: 消费束1偏好于消费束2 消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果1.4,1时: 消费束1偏好于消费束2 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。四、效用函数,求瓦尔拉斯需求函数解答:从效用函数可知商品2对消费者没效用,因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购置商品1,对商品2的需求为0,或者由,可得到实际上,这是一个边角解,五、设效用函数,其中;这就是常或不变替代弹性CES效用函数。求:1瓦尔拉斯需求函数;2间接效用函数;3验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的;4验证间接效用函数关于收入y是递增的,关于价格p是递减的;5验证罗伊恒等式;6求希克斯需求函数;7求支出函数;8从它对应的间接效用函数推导出支出函数,及从支出函数推导出间接效用函数。9验证对偶定理1求瓦尔拉斯需求函数列出拉格朗日函数:三个一阶条件:;整理,得:;求解,得:;上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义,便可将瓦尔拉斯需求函数化简为:;2求间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数,可得间接效用函数:3验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性;4验证间接效用函数关于收入y是递增的,关于价格p是递减的,对它求关于收入与任何价格的微分,得:5验证罗伊等式:间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导,别忘了乘-1!6求解支出最小化问题其拉格朗日函数为:三个一阶条件为:;通过消去,这些式子被简化为:;令,可解出希克斯需求函数:7将希克斯需求函数代入目标函数,可得支出函数:8从间接效用函数推导出支出函数间接效用函数为:将替换为u,解出y;再将y替换为,得到支出函数为:从支出函数推导出间接效用函数支出函数为:将u替换为,将替换为y,解出。9瓦尔拉斯需求函数为:,将y替换为支出函数得:六、效用函数,对其求1、瓦尔拉斯需求函数,间接效用函数;2、希克斯需求函数,支出函数。答案:1、,2、,七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述,说明其性质,*并证明其中的凹凸性性质。请参考教材*八、证明对偶原理中的1.2.请参考教材*九、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集。假定。证明:如果是一个凸集,则也是凸集。答案:设*B, *B,0,1.令*=*+(1-) *,因为*是一个凸集,所以*.故p*=(p*)+ (1-)(p*)w+ (1-)w=w因此,*B.十、效用函数,推导斯拉茨基方程,并分析替代效应、收入效应和总效应。答案:推导斯拉茨基方程需要以下函数:1瓦尔拉斯需求函数:过程省略;2间接效用函数:3希克斯需求函数:;4验证第一种商品的斯拉茨基方程:第一步:计算收入效应,第二步:计算替代效应把u替换为间接效用函数,代入,得到:第三步:计算总效应第四步:验证总效应=替代效应+收入效应,显然十一、效用函数,求其货币度量的直接和间接效用函数。答案:十二、效用函数,当,求其等价变化和补偿变化。答案:为了计算等价变化和补偿变化需要:间接效用函数:支出函数:1先求等价变化:“老价格,新效用,计算支出函数老价格为:新效用为:则等价变化为2补偿变化:“新价格,老效用,计算支出函数老效用:补偿变化为:十三、分析福利分析在税收方面的应用。请参考教材十四、,假定,对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失包括两种情况。解答:ma* s.t. 1求瓦尔拉斯需求函数1建立拉格朗日函数2求极值一阶条件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得:3瓦尔拉斯需求函数分别将,代入预算约束(c),有2求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数,有3求支出函数由间接效用函数,求反函数得:4求希克斯需求函数法一:将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数,得到法二:根据伯特引理,对支出函数对价格求导,也可得到希克斯需求函数。5求货币度量的效用函数1货币度量的直接效用函数由,有2货币度量的间接效用函数6下标0表示征税前,下标1表示征收消费税后。,等价变化分析:按照征税前的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:商品税与收入税对消费者的福利之差为:说明商品税对消费者的福利影响更差。补偿变化分析:按照征税后的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:商品税与收入税对消费者的福利之差为:说明商品税对消费者的福利影响更差。. z.
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