二次函数（平行四边形）1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（xm）2m2+m的顶点为A，及y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，及第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？解答：解：（1）当m=2时，y=（x2）2+1，把x=0代入y=（x2）2+1，得：y=2，点B的坐标为（0，2）（2）延长EA，交y轴于点F，AD=AC，AFC=AED=90，CAF=DAE，AFCAED，AF=AE，点A（m， m2+m），点B（0，m），AF=AE=|m|，BF=m（m2+m）=m2，ABF=90BAF=DAE，AFB=DEA=90，ABFDAE，=，即：=，DE=4（3）点A的坐标为（m， m2+m），点D的坐标为（2m， m2+m+4），x=2m，y=m2+m+4，y=+4，所求函数的解析式为：y=x2+x+4，作PQDE于点Q，则DPQBAF，（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）（m2）=m2+m+4，把P（3m， m2+m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m2+m+4=（3m）2+（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m+4=m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8，综上所述：m的值为8或8【例二】已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，及x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图图(3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP及OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。【例三】（2013湘潭）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB及CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l及BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，CE边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）【例四】（2013盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3及x轴相交于点A（1，0）、B（3，0），及y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不及O、B重合），过点P垂直于x轴的直线及抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式（不必说明平分平行四边形面积的理由）解答：解：（1）点A（1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3设E点坐标为（x，x2+2x+3），则P（x，0），F（x，x+3），EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x四边形ODEF是平行四边形，EF=OD=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，P点坐标为（1，0）或（2，0）（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A及ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（，2）设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（1，0），G（，2）坐标代入得：，解得k=b=，所求直线的解析式为：y=x+；当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（1，）设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（1，0），G（1，）坐标代入得：，解得k=b=，所求直线的解析式为：y=x+综上所述，所求直线的解析式为：y=x+或y=x+【例六】如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C及点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分) /