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http:/www.docin.com/fsxxlt 本文档由华涛教学资料室为您倾心整理,欢迎下载!解竞赛题的钥匙一 算谜问题凑凑、估估、揭谜底算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏,它不仅加深对小学数学基本知识的理解,对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。 1958年开始,心理学家以算谜为例子,研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题构思精巧,变化多端,并且具有不同的难度层次,所以经常被智力竞赛和数学竞赛所选用。算谜问题,一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的算式就像“谜”一样,要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算谜“猜”出来,使不完整的算式补充完整。我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。例1 9137=1001425= 把+、-、分别填在适当的圆圈中,并在长方形中填上适当的整数,可以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几?(1986年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题)解法:先考虑第一个等式,等式右边是100比9、13、7大得多,所以等式的圆圈里首先应考虑“+”或“”,但913=117比100大,所以得9137=100。第二个等式中,题意要求在长方形中填整数,而且只剩下减号和除号,所以得142-5=2。即长方形中的数是2。例2 在15个8之间添上+、-、,使得下面的算式成立:8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986(北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题)分析:这个式子数字很大,我们先凑出与1986较接近的数,如: 88888888=1999。这个数比1986大13,这样原问题就转化为:能否用剩下的七个8经适当的四则运算得出一个等于13的算式呢?还是用上面的想法: 11与13较接近,而888=11这样一来问题就转化为能否用剩下的四个8写出一个等于2的算式。而这是不难办到的。如: 88882解法: 88888888-888-88-88=1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗?以上二例是填写运算符号,例1是根据运算结果进行逆推,是解答算谜问题的常用方法。例2用逆推的方法比较麻烦,因此,我们先经过估算,凑出一个与结果较接近的数,然后凑凑、算算,使算式成立。下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。例3 将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几?= (1986年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题)解法:要求用七个数字组成五个数,根据算式,应当三个数是一位数,两个二位数,二位数应是积和被除数。O和1不宜做一位数,一位数如果是2,则会出现2612 (2重复出现), 25=10 (经试验不行), 248(7个数中没有8), 23=6 (6不能成为商),因此,2也不能做一位数。0、1和2只能用来组成二位数,它可以组成12和21,经验算,21不能填在方框内,于是得到34=12=605。即填在方框内的数是12。例4 下面的算式里,每个方框代表一个数字。问:这6个方框中的数字的总和是多少?(1991年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题)分析:解决这样的问题,我们需要认真审题,抓住式中的某些特点,寻找突破口。这个题目的突破口在百位上,由于十位至多向百位进1,且百位上两个内数字之和加上十位向百位的进位等于19,可以推出百位上两个内数字均填9,且十位向百位进1;同理,由于十位上两个内数字之和加上个位向十位的进位等于19,可以推出十位上两个内数字均填9,且个位向十位进1;由此推出个位上两个内数字之和等于11。解法:由于两个加数的十位和百位数字均为9,两个加数的个位数字之和为11,因此所有内数字之和为94+11=47。7,8,9”中的某一个数字,使得该除式成立。(上海市1988年小学数学竞赛试题)分析:根据除式条件,首先可知除数的十位数字是1,第一次相除后,余数是32,由此推出商数的个位数字只能是2,除数的个位数字也只能是6。解法:例6 在中填上适当的数字,使算式成立。分析:因为除数是三位数,并且百位数为6,它和商的首位的乘积也是三位数,所以商的首位是1;因为第一行的个位数是7,所以除数的个位数也是7;因为第二行的个位为1,所以商的个位为3。因为37= 21,必须向十位进2,所以根据十位上的6,推知除数的十位是8。商与除数确定后,其他数字都易于确定。解法:(1993年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题)分析:这是一道数字谜的最值问题,要选择好“突破口”通常从首位或未位数字入手。解法:由已知条件首先确定A1,然后再看被加数与加数的个位数字之和:D+G=3或13,由题意A、D、G代表不同的数字,于是DC23=5,因此有DG=13。同理,被加数与加数的十位数字之和:C+F89=17。这样可以断定CF=8,最后可以推知,被加数与加数的百位数字之和BE=9,下面考虑乘法算式为了使乘积最大,显然乘数的首位数字E应该尽可能大,而BE=9。于是B应该尽可能小,这样可以断定取B =2,E=9,根据同样理由,可以确定乘数的十位数字F应该取5,因为这时C的最小值可取3;最后确定C=9,1234759=936606。类似地,为了使乘积最小,可以依次确定B=7,E=2,C=5,F=3,D=9,1759234=411606。936606-411606=525000。所以,乘积ABCDEFG的最大值与最小值差525000。例8 在右边的算式中A、B代表不同的数字,若算式成立,求出A、B。(1980美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题)解法:算式中, ABA=114将114分解因式, 114=2319,然后将114写成一个二位数与一个一位数的积。114=522=383=196,显然383符合要求,所以A=3,B8。例9 右边乘法算式中的来参加数学邀请赛“来参加数学邀请赛”八个字各代赛表一个不同的数字,其中赛代表来来来来来来来来来9,来代表,参代表,加代表,数代表,学代表,邀代表,请代表。(1986年“小学生数学报”数学邀请赛试题)解法:已知赛代表9,赛赛99=81,所以来代表1,即乘积为111111111。根据积一个因数另一个因数,可以求得被乘数1111111119=123456789。从而得出:参代表2,加代表3,数代表4,学代表5,邀代表6,请代表7。例10 下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字,每个方框中可以填0至9任何一个数字,但最高位不能填0,试确定算式中的每一个数字。解法:为叙述方便,把每行中的数字从上到下称为第一行,第二行,从第二行看,“数”代表0。从第三行看,“趣”代表的数自乘后仍是一位数,所以这个数必须小于等于3。而且当“趣”代表3时,“味”必须小于等于2。从第四行看,第三行的第一个数字必须是9,因此“趣”代表3。又因“数”代表0,如果“味”代表1,那么第二行的第一个数“3”与第三行的第二个数“3”相加就没法进行。所以,“味”必须是2。于是“趣”、“味”、“数”分别为“3”、“2”、“0”。最后看第一行“学”不能大于3,否则第一行将是五位数,又因为四个数字表示互不相同的数,所以学只能是“1”。通过上面例题分析,解答算谜问题要注意:1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取0至9中的某一个数字。2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系,根据这些数量关系,选择“突破口”。3.突破口的选择往往从确定一个数(乘数,被乘数,除数或商)的个位、首位或其他数位上的数字入手。4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法,淘汰那些不合题意的解,寻找正确答案。5.运用估算的方法,缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1.在1199之间填上适合的运算符号,使等式成立。119910(天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题)2.填上合适的符号,使等式成立。4444=14444=24444=34444=44444=5(天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题)3.在下面式中填上算术运算符号、括号,使式子成立:(1)1 2 3=1;(2)1 2 3 4=1;(3)1 2 3 4 5=1;(4)1 2 3 4 5 6=1;(5)1 2 3 4 5 6 7=1。(1984年重庆市小学数学竞赛试题)4. 填上适当的运算符号,使下式成立: 1 2 3 4 5100(1983年小学生报数学邀请赛)5.在下面十五个9之间添上+、-、( )使下面算式成立:9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 920006.在被除数小于100的情况下,在右图内填上适当的数:(1983年小学生报数学邀请赛试题)7.在下面的中,分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字(每个只许填一次)使得带分数算式(每式只要一个填法):(上海第一届“从小爱数学”邀请赛试题)8.在下面乘法竖式的内各填上适合的数字,使算式成立:9.在下面的方框中填上适当的数字,使算式成立:10.关于下面的算式,只知道一个数字8,你能确定其他数字吗?11.把下面除法算式中的*号填出来,成为一完整的算式。12.下式中不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,求出这些字母各代表什么数字,算式才能成立:13.将下面式中的字母用数字代替,使算式成立。(1984年上海“金钥匙”数学竞赛题)14.下面算式中每一个字代表一个数字,不同的字代表不同的数字,当算式成立时,求每个字所代表的数字。(1986年北京奥林匹克学校入学试题)15.在下面的算式中“三”、“好”、“学”、“生”四个汉字各代表一个阿拉伯数字,其中“三”代表,“好”代表,“学”代表,“生”代表。(1988年小学生数学报小学生数学邀请赛初赛试题)16.在象棋算式里,不同的棋子代表不同的数字,请你想一想棋子各代表哪些数字。17.下列各题的每一个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,试求出下列各算式。(2)(3)(4)优优优优优优学=学习再学习二 填数问题从“九宫算”谈起在填数问题中,小学生常常采用“凑”的方法,通过几次试验来寻找解答。如果我们深挖其中的道理,就会找到一些解题规律,使认识进一步深化。在这个意义上讲,填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献,著名的“九宫算”就是其中之一,最早提出的问题是:将1至9这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。这种图形填数,我国古代称为“九宫算”、“纵横图”,国外叫做幻方。“九宫图”就是将1至9的九个数填在33的小格内,它是一个三阶幻方。传说大禹治水的时候,洛水中浮出一只神龟,龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。一般地,在nn的方格内,既不重复又不遗漏地填上n2个自然数,每个数占一格,并使每行
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