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细心整理直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;2、直线与圆相切 有一个交点(切点;3、直线与圆相交 有两个交点;二、切线的判定定理与性质1切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行 即:且过半径外端 是的切线(2) 性质定理:经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心如上图 过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。例1、 在中,BC=6cm,B=30,C=45,以A为圆心,当半径r多长时所作的A与直线BC相切?相交?相离?解题思路:作ADBC于D在中,B=30 在中,C=45 CD=AD BC=6cm 当时,A与BC相切;当时,A与BC相交;当时,A与BC相离。例2如图,AB为O的直径,C是O上一点,D在AB的延长线上,且DCB=A1CD与O相切吗?假如相切,请你加以证明,假如不相切,请说明理由2假设CD与O相切,且D=30,BD=10,求O的半径 解题思路:1要说明CD是否是O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上 由确定易得:A=30,又由DCB=A=30得:BC=BD=10 解:1CD与O相切 理由:C点在O上确定 AB是直径 ACB=90,即ACO+OCB=90 A=OCA且DCB=A OCA=DCB OCD=90 综上:CD是O的切线 2在RtOCD中,D=30 COD=60 A=30 BCD=30 BC=BD=10 AB=20,r=10 答:1CD是O的切线,2O的半径是10三、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线 平分证明四、圆幂定理1相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在中,弦、相交于点, 相像2推论:假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在中,直径, 3切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在中,是切线,是割线 4割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图。即:在中,、是割线 五、三角形的内切圆(1) 定义:与三角形三边都相切的圆角平分线的交点(2) 内心、外切三角形例1:如图,O为ABC的内切圆,C,AO的延长线交BC于点D,AC4,DC1,那么O的半径等于1、如图,ABC=90,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO长为半径作O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与0相切六、圆与圆的位置关系外离图1 无交点 ;外切图2 有一个交点 ;相交图3 有两个交点 ;内切图4 有一个交点 ;内含图5 无交点 ; 例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示点O,O是圆心,分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求TPN的大小 1 (2) 解题思路:要求TPN,其实就是求OPO的角度,很明显,POO是正三角形,如图2所示 解:PO=OO=PO POO是一个等边三角形 OPO=60 又TP与NP分别为两圆的切线,TPO=90,NPO=90 TPN=36029060=120例2如图1所示,O的半径为7cm,点A为O外一点,OA=15cm,求:1作A与O外切,并求A的半径是多少? (1) (2)(2作A与O相内切,并求出此时A的半径 解题思路:1作A和O外切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rO+rA;2作OA与O相内切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rArO解:如图2所示,1作法:以A为圆心,rA=157=8为半径作圆,那么A的半径为8cm2作法:以A点为圆心,rA=15+7=22为半径作圆,那么A的半径为22cm例3如下图,点A坐标为0,3,OA半径为1,点B在x轴上 1假设点B坐标为4,0,B半径为3,试判定A与B位置关系;_A_y_x_O 2假设B过M2,0且与A相切,求B点坐标答1AB=51+3,外离2设Bx,0x2,那么AB=,B半径为x+2,设B与A外切,那么=x+2+1,当x2时,=x+3,平方化简得:x=0符题意,B0,0,当x2舍,设B与A内切,那么=x+21,当x2时,=x+1,得x=42,B4,0,当x2时,=x3,得x=0,七、两圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。即:、相交于、两点 垂直平分八、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:1公切线长:中,;2外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。九、圆内正多边形的计算1正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进展:;2正四边形同理,四边形的有关计算在中进展,:3正六边形同理,六边形的有关计算在中进展,.根底训练1填表:直线与圆的位置关系图形公共点个数公共点名称圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系直线的名称相交相切相离2假设直线a与O交于A,B两点,O到直线a的距离为6,AB=16,那么O的半径为_3在ABC中,确定ACB=90,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,5,8为半径作图,那么直线AB与圆的位置关系分别是_,_,_4O的半径是6,点O到直线a的距离为5,那么直线a与O的位置关系为 A相离 B相切 C相交 D内含5以下判定正确的选项是 直线上一点到圆心的距离大于半径,那么直线与圆相离;直线上一点到圆心的距离等于半径,那么直线与圆相切;直线上一点到圆心的距离小于半径,那么直线与圆相交 A B C D6OA平分BOC,P是OA上任一点O除外,假设以P为圆心的P与OC相离,那么P与OB的位置关系是 A相离 B相切 C相交 D相交或相切7如下图,RtABC中,ACB=90,CA=6,CB=8,以C为圆心,r为半径作C,当r为多少时,C与AB相切?8如图,O的半径为3cm,弦AC=4cm,AB=4cm,假设以O为圆心,再作一个圆与AC相切,那么这个圆的半径为多少?这个圆与AB的位置关系如何?提高训练9如下图,在直角坐标系中,M的圆心坐标为m,0,半径为2,假如M与y轴所在直线相切,那么m=_,假如M与y轴所在直线相交,那么m的取值范围是_ 10如图,ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,以A为圆心,3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_11如图,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EFAB,交BC于E,交AD于F,那么以点B为圆心,长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么?12确定O的半径为5cm,点O到直线L的距离OP为7cm,如下图 1怎样平移直线L,才能使L与O相切?2要使直线L与O相交,应把直线L向上平移多少cm?13如图,RtABC中,C=90,AC=3,AB=5,假设以C为圆心,r为半径作圆,那么: 1当直线AB与C相切时,求r的取值范围; 2当直线AB与C相离时,求r的取值范围;3当直线AB与C相交时,求r的取值范围14在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30的方向迎着气象站袭来,确定该风暴速度为每小时20千米,风暴四周50千米范围内将受到影响,假设该风暴不变更速度与方向,问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响?假设不受影响,请说明理由;假设受影响,请求出受影响的时间九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题:1假设OAB=30,OA=10cm,那么以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是 A相交B相切C相离D不能确定2RtABC中,C=90,AB=10,AC=6,以C为圆心作C和AB相切,那么C的半径长为 A8B4C96D483O内最长弦长为,直线与O相离,设点O到的距离为,那么与的关系是 A=BCD4以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,那么该三角形为 A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形5菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为 A相交B相切C相离D不能确定6O的半径为6,O的一条弦AB为6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 A相离B相
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