第五章 动量、动量守恒定律 一、主要内容 本章内容包括动量、冲量、反冲等基本概念和动量定理、动量守恒定律等基本规律。冲量是物体间相互作用一段时间的结果，动量是描述物体做机械运动时某一时刻的状态量，物体受到冲量作用的结果，将导致物体动量的变化。冲量和动量都是矢量，它们的加、减运算都遵守矢量的平行四边形法则。 本章中所涉及到的基本方法主要是一维的矢量运算方法，其中包括动量定理的应用和动量守定律的应用，因为力和动量均为矢量。所以，在应用动理定理和动量守恒定律时要首先选择正方向，正规定的正方向一致的力或动量取正值，反之取负值而不能只注重力或动量数值的大小；另外，理论上讲，只有在系统所受合外力为零的情况下系统的动量才守恒，但对于某些具体的动量守恒定律应用过程中，若系统所受的外力远小于系统内部相互作用的内力，则也可视为系统的动量守恒，这是一种近似处理问题的方法。 三、错解分析 在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：只注意力或动量的数值大小，而忽视力和动量的方向性，造成应用动量定理和动量守恒定律一列方程就出错；对于动量守恒定律中各速度均为相对于地面的速度理解不清。对题目中所给出的速度值不加分析，盲目地套入公式，这也是一些学生常犯的错误。例1 从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其原因是： ( )A掉在水泥地上的玻璃杯动量大，而掉在草地上的玻璃杯动量小B掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小C掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在草地上的玻璃杯动量改变慢D掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时，相互作用时间短，而掉在草地上的玻璃杯与地面接触时间长。【错解】 选B。【错解原因】 认为水泥地较草地坚硬，所以给杯子的作用力大，由动量定理I=P，即Ft=P，认为F大即P，大，所以水泥地对杯子的作用力大，所以掉在水泥地上的动量改变量大，所以，容易破碎。【分析解答】 设玻璃杯下落高度为h。它们从h高度落地瞬间的量变化快，所以掉在水泥地上杯子受到的合力大，冲力也大，所以杯子所以掉在水泥地受到的合力大，地面给予杯子的冲击力也大，所以杯子易碎。准确答案应选C，D。【评析】 判断这个类问题，应从作用力大小判断入手，再由动量大，而不能一开始就认定水泥地作用力大，正是这个点需要自己去分析、判断。例2 把质量为10kg的物体放在光滑的水平面上，如图51所示，在与水平方向成53的N的力F作用下从静止开始运动，在2s内力F对物体的冲量为多少？物体获得的动量是多少？【错解】 错解一：2s内力的冲量为设物体获得的动量为P2，由动量定理【错解原因】 对冲量的定义理解不全面，对动量定理中的冲量理解不移。错解一主要是对冲量的概念的理解，冲最定义应为“力与力作用时间的乘积”，只要题目中求力F的冲量，就不应再把此力分解。这类解法把冲量定义与功的计算公式W=Fcosas混淆了。错解二主要是对动量定理中的冲量没有理解。实际上动量定理的叙述应为“物体的动量改变与物体所受的合外力的冲量相等”而不是“与某一个力的冲量相等”，此时物体除了受外力F的冲量，还有重力及支持力的冲量。所以解错了。【分析解答】 首先对物体实行受力分析：与水平方向成53的拉力F，竖直向下的重力G、竖直向上的支持力N。由冲量定义可知，力F的冲量为：IF=Ft=102=10(Ns)因为在竖直方向上，力F的分量Fsin53，重力G，支持力N的合力为零，合力的冲量也为零。所以，物体所受的合外力的冲量就等干力F在水平方向上的分量，由动量定理得：Fcos53t=P2-0所以P2=Fcos53t=100.82(kgm/s)P2=16kgm/s【评析】对于物理规律、公式的记忆,要在理解的基础上记忆，要注意弄清公式中各物理量的含量及规律反映的物理本质，而不能机械地从形式上实行记忆。另外，对于计算冲量和功的公式、动能定理和动量定理的公式，因为它们从形式上很相似，所以要特别注意弄清它们的区别。例3 在距地面高为h，同时以相等初速V0分别平抛，竖直上抛，竖直下抛一质量相等的物体m，当它们从抛出到落地时，比较它们的动量的增量P，有 ( )A平抛过程较大 B竖直上抛过程较大C竖直下抛过程较大 D三者一样大【错解】 错解一：根据机械能守恒定律，抛出时初速度大小相等，落地时末速度大小也相等，它们的初态动量P1=mv0。是相等的，它们的末态动量P2=mv也是相等的，所以P=P2-P1WIJ一定相等。选D。错解二：从同一高度以相等的初速度抛出后落地，不论是平抛、竖直上抛或竖直下抛，因为动量增量相等所用时间也相同，所以冲量也相同，所以动量的改变量也相同，所以选D。【错解原因】 错解一主要是因为没有真正理解动量是矢量，动量的增量P=P2=P1也是矢量的差值，矢量的加减法运算遵从矢量的平行四边形法则，而不能用求代数差代替。平抛运动的初动量沿水平方向，末动量沿斜向下方；竖直上抛的初动量为竖直向上，末动量为竖直向下，而竖直下抛的初末动量均为竖直向下。这样分析，动量的增量P就不一样了。方向，而动量是矢量，有方向。从运动合成的角度可知，平抛运动可由一个水平匀速运动和一个竖直自由落体运动合成得来。它下落的时间由为初速不为零，加速度为g的匀加速度直线运动。竖直下抛落地时间t3t1，所以第二种解法是错误的。【分析解答】 1由动量变化图52中可知，P2最大，即竖直上抛过程动量增量最大，所以应选B。【评析】 对于动量变化问题，一般要注意两点：(1)动量是矢量，用初、末状态的动量之差求动量变化，一定要注意用矢量的运算法则，即平行四边形法则。(2)因为矢量的减法较为复杂，如本题解答中的第一种解法，所以对于初、末状态动量不在一条直线上的情况，通常采用动量定理，利用合外力的冲量计算动量变化。如本题解答中的第二种解法，但要注意，利用动量定理求动变化时，要求合外力一定为恒力。例4 如图53所示，一个质量为M的小车置于光滑水平面。一端用轻杆AB固定在墙上，一个质量为m的木块C置于车上时的初速度为v0。因摩擦经t秒木块停下，(设小车充足长)，求木块C和小车各自受到的冲量。【错解】 以木块C为研究对象，水平方向受到向右的摩擦力f，以v0)。为正方向，由动量定理有：-ft=0=mv0 所以I木=ft=mv0所以，木块C受的冲量大小为mv0，方向水平向右。又因为小车受到的摩擦力水平向左，大小也是f(牛顿第三定律)。所以小车受到的冲量I车= ft =mv0,大小与木块受到的冲量相等方向相反，即水平向左。【错解原因】 主要是因为对动量定理中的冲量理解不深入，动量定理的内容是：物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化量。数学表达式为I合=P2-P1，等式左侧的冲量应指合外力的冲量。在上述解答中，求木块C受到的冲量为my0是准确的。因为C受到的合外力就是(重力mg与支持力N互相平衡)，但小车的冲量就错了。因为小车共受5个力：重力Mg，压力N=mg，支持力NN=(mM)g，摩擦力f和AB杆对小车的拉力T，且拉力T=f，所以小车所受合力为零，合力的冲量也为零。【分析解答】 以木块C为研究对象，水平方向受到向右的摩擦力f，以V0为正方向由动量定理有：-ft=0-mv0 I木=ft=mv0所以，木块C所受冲量为mv0，方向向右。对小车受力分析，竖直方向N=MgN=(Mm)g，水平方向T=f，所以小车所受合力为零，由动量定理可知，小车的冲量为零。从动量变化的角度看，小车始终静止没动，所以动量的变化量为零，所以小车的冲量为零。准确答案是木块C的冲量为mv0，方向向右。小车的冲量为零。【评析】 在学习动量定理时，除了要注意动量是矢量，求动量的变化P要用矢量运算法则运算外，还要注意Ft中F的含义，F是合外力而不是某一个力。参考练习：质量为100g的小球从0.8m高处自由落下到一厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.20s，则这段时间软垫对小球的冲量为_(g=10m/s2，不计空气阻力)(答案为06Ns)例5 向空中发射一物体不计空气阻力，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a,b两块若质量较大的a块的速度方向仍沿原来的方向则 ( )Ab的速度方向一定与原速度方向相反B从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大Ca，b一定同时到达地面D炸裂的过程中，a中受到的爆炸力的冲量大小一定相等【错解】 错解一：因为在炸裂中分成两块的物体一个向前，另一个必向后，所以选A。锗解二：因为不知道a与b的速度谁大，所以不能确定是否同时到达地面，也不能确定水平距离谁的大，所以不选B，C。错解三：在炸裂过程中，因为a的质量较大，所以a受的冲量较大，所以D不对。【错解原因】 错解一中的理解是一种凭感觉判断，而不是建立在全面分析的基础上。事实是因为没有讲明a的速度大小。所以，若要满足动量守恒，(ma+mb)v=mavambvb，vb的方向也可能与va同向。错解二是因为没有掌握力的独立原理和运动独立性原理。把水平方向运动的快慢与竖直方向的运动混为一谈。错解三的主要错误在于对于冲量的概念没有很好理解。【分析解答】 物体炸裂过程发生在物体沿水平方向运动时，因为物体沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有：(ma+mb)v=mavbmbvb当va与原来速度v同向时,vb可能与va反向，也可能与va同向,第二种情况是因为va的大小没有确定，题目只讲的质量较大，但若va很小，则mava还可能小于原动量(ma+mb)v。这时,vb的方向会与va方向一致，即与原来方向相同所以A不对。a，b两块在水平飞行的同时，竖直方向做自由落体运动即做平抛运选项C是准确的因为水平飞行距离x=vt，a、b两块炸裂后的速度va。vb。不一定相等，而落地时间t又相等，所以水平飞行距离无法比较大小，所以B不对。根据牛顿第三定律，a，b所受爆炸力Fa=-Fb，力的作用时间相等，所以冲量I=Ft的大小一定相等。所以D是准确的。此题的准确答案是：C，D。【评析】 对于物理问题的解答，首先要搞清问题的物理情景，抓住过程的特点(物体沿水平方向飞行时炸成两块，且a仍沿原来方向运动)，进而结合过程特点(沿水平方向物体不受外力)，运动相对应的物理规律(沿水平方向动量守恒)实行分析、判断。解答物理问题应该有根有据，切忌“想当然”地作出判断。例6 总质量为M的装砂的小车，正以速度v0在光滑水平面上前进、突然车底漏了，持续有砂子漏出来落到地面，问在漏砂的过程中，小车的速度是否变化？【错解】 质量为m的砂子从车上漏出来，漏砂后小车的速度为v由动量守恒守律：Mv0=(M-m)v【错解原因】 解法错误的主要原因在于研究对象的选择，小车中砂子的质量变了，即原来属于系统内的砂子漏出后就不研究了。这样，所谓系统的初状态及末状态的含义就变了。实际情况是，漏掉的砂子在刚离开车的瞬间，其速度与小车的速度是相同的，然后做匀变速运动(即平抛)【分析解答】 质量为m的砂子从车上漏出来，漏