因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、 运用公式法、 分组分解法和十字相乘法 本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 进一步着重换元法，待定系数法的介绍一、提公因式法 .： ma+mb=m(a+b)二、运用公式法 .（ 1） (a+b)(a- b) = a2 -b2 -a2-b2 =(a+b)(a-b) ；(2) (a2= a22222 b) 2ab+b a 2ab+b =(a b) ；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；333222(6)a +b +c -3abc=(a+b+c)(a+b +c-ab-bc-ca) ；例 .已知 a，b， c 是ABC 的三边，且 a2b2c2ab bcca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc 2ca( ab) 2(bc) 2(ca) 20abc三、分组分解法例 2、分解因式： 2ax 10 ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)= 2a( x5 y)= (x5 y)( 2a(5byb( xb)bx)5 y)原式 = (2ax= x(2a= (2abx ) ( 10ay b) 5 y(2a b)( x 5y)5by)b)练习：分解因式1、a2abacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y 2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )(axay )= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb2c 2解：原式 = (a22abb2 )c 2= (a b) 2c2= (a b c)(a b c)练习：分解因式 3、 x2x9 y23y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x2 yxy 2y3（ 2） ax2bx 2bxaxa b（ 3） x 26xy9 y 216a28a1（ 4） a 26ab 12b9b 24a（ 5） a42a3a 29（ 6） 4a 2 x 4a2 y b 2 x b2 y（ 7）x 22xyxzyzy 2（ 8）a 22a b 22b2ab 1（ 9） y( y2)(m1)( m1)（ 10） (ac)(ac)b(b2a)（ 11）a2 (b c)b 2 (ac)c 2 (ab) 2abc（ 12）a3b 3c33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( p q)x pq(x p)( x q) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知0 a 5，且 a 为整数，若2x23x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c ， 都要 求b24ac 0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a 1例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab 128b2 = a 2 8b( 16b)a 8b ( 16b)= (a8b)(a16b)练习 8、分解因式 (1) x23xy2 y 2 (2) m 26mn8n 2 (3) a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27 xy 6y 2例 10、 x2 y23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2y)(2 x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式： （ 1） 15x 27xy4 y2（ 2） a 2 x26ax8综合练习 10、（ 1） 8x67x 31（ 2） 12x 211xy15 y2（ 3） ( x y)23( x y)10（ 4） (a b)24a4b3（ 5）x2 y 25x 2 y 6x2（ 6）m24mn4n 23m6n2（ 7） x 24xy4 y 22 x4 y3（ 8） 5( ab) 223(a 2b 2 )10(ab) 2（ 9）4x24xy6x3yy210（ 10）12( xy) 211(x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式：abcx2( a2 b2c 2 )x abc五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(2005 21) x2005（ 2） ( x 1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（1）设 2005= a ，则原式 = ax 2( a21)xa= (ax1)( xa)= (2005 x1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27x 6)( x 25x 6) x 2设 x25x6 A，则 x 27 x 6 A 2x原式 =(A2x) A x2 = A22 Ax x2= ( Ax)2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（1） (x（ 2） (x（ 3） (a2xy y2 ) 24xy( x2y 2 )23x2)( 4x 28x3) 9021) 2(a 25) 24( a23) 2例 14、分解因式（1）2x 4x36x 2x2观察： 此多项式的特点是关于x 的降幂排列， 每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x2 ( 2x2x611) = x 22( x 21) (x1 )6xx 2x2x设 x1t ，则 x 21t 2222x22)6x222原式 =xt= x2tt 10（ t= x2 2t 5 t 2 = x2 2x25 x12xx= x2x25 xx12= 2x 25x 2 x 22 x 1xx= ( x 1) 2 (2x 1)( x 2)（ 2） x 44x3x24x1解：原式 = x2 ( x24x141 ) = x2x214 x11