一元二次方程及其应用一、选择题1. （2016湖北随州3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据相关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中准确的是（ ）A20（1+2x）=28.8 B28.8（1+x）2=20C20（1+x）2=28.8 D20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C2. （2016江西3分）设、是一元二次方程x2+2x1=0的两个根，则的值是（ ）A2B1C2D1【考点】根与系数的关系【分析】根据、是一元二次方程x2+2x1=0的两个根，由根与系数的关系能够求得的值，本题得以解决【解答】解：、是一元二次方程x2+2x1=0的两个根，=，故选D3. （2016辽宁丹东3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 60（1+x）2=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：60（1+x）2=100故答案为：60（1+x）2=1004.（2016四川攀枝花）若x=2是关于x的一元二次方程x2+axa2=0的一个根，则a的值为（ ）A1或4 B1或4 C1或4 D1或4【考点】一元二次方程的解【分析】把x=2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程能够求得a的值【解答】解：根据题意，将x=2代入方程x2+axa2=0，得：43aa2=0，即a2+3a4=0，左边因式分解得：（a1）（a+4）=0，a1=0，或a+4=0，解得：a=1或4，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根5（2016广西桂林3分）若关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且k1 Ck5，且k1 Dk5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，即，解得：k5且k1故选B6.（2016贵州安顺3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值能够是（ ）Ab=3Bb=2Cb=1Db=2【分析】根据判别式的意义，当b=1时0，从而可判断原命题为是假命题【解答】解：=b24，当b=1时，0，方程没有实数解，所以b取1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例故选C【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题很多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“如果那么”形式有些命题的准确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理任何一个命题非真即假要说明一个命题的准确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可7（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，设方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，0设方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根为a，b，则a+b=+，a0，0，a+b0故选C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键8. （2016云南省昆明市4分）一元二次方程x24x+4=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程x24x+4=0中，=（4）2414=0，该方程有两个相等的实数根故选B9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有一根为0答案：解析：由（a-c）2a2+c2得出，因此，所以两根，故选项。知识点：根的判别式，大于零，根；等于零同根；小于零，无根。10（2016四川泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有实数根，则k的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【考点】根的判别式【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围【解答】解：关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有实数根，=b24ac=4（k1）24（k21）=8k+80，解得：k1故选：D11.（2016湖北荆门3分）已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7 B10 C11 D10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故选：D12（2016湖北荆门3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可【解答】解：二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，=3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0，即（x+1）（x7）=0，解得x1=1，x2=7故选D13.（2016内蒙古包头3分）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）AB C或D1【考点】一元二次方程的解【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=（m+1），x1x2=，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或1，然后把1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=（m+1），x1x2=，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或1，若是1时，即1+x2=（m+1），而x2=，解得m=；若是1时，则m=故选：C14. （2016山东潍坊3分）关于x的一元二次方程x2x+sin=0有两个相等的实数根，则锐角等于（）A15 B30 C45 D60【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sin=，再由为锐角，即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程x2x+sin=0有两个相等的实数根，=4sin=24sin=0，解得：sin=，为锐角，=30故选B二、填空题1（2016山东省菏泽市3分）已知m是关于x的方程x22x3=0的一个根，则2m24m=6【考点】一元二次方程的解【专题】推理填空题【分析】根据m是关于x的方程x22x3=0的一个根，通过变形可以得到2m24m值，本题得以解决【解答】解：m是关于x的方程x22x3=0的一个根，m22m3=0，m22m=3，2m24m=6，故答案为：6【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件2.（2016河南）若关于x的一元二次方程x2+3xk=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k【考点】根的判别式；解一元一次不等式【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程x2+3xk=0有两个不相等的实数根，=3241（k）=9+4k0，解得：k故答案为：k【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键3. （2016山东省德州市4分）方程2x23x1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2=，x1x2=”，再利用完全平方公式将x12+x22转化成2x1x2，代入数据即可得出结论【解答】解：方程2x23x1=0的两根为x1，x2，x1+x2=，x1x2=，x12+x22=2x1x2=2（）=故答案为：【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2=，x1x2=本题属于基础题，