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第七章 常微分方程初步第一节 常微分方程引例1(曲线方程):已知曲线上任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标4倍,且过( -1 ,3)点,求此曲线方程解:设曲线方程为y = y (x),则曲线上任意一点M(x,y )处切线的斜率为dydx 根据题意有dy=4 x 0) dtx (t ) = x00 这是一个带有初始条件的一阶微分方程。 引例2(招生情况):某校1995年招生人数为 5000人,如果该校能保持每年3%的相对增长 率,问到 2010 年的招生情况如何?解:设第t年该校招生为y (t),t=0时代表1995年,从1995年起,y (t)相对增长率保持 为 3%,即dtdy (t)3%y(t)y(0) = 5000这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例3(死亡时间鉴定问题):设温度为T0的物体放置在温度为工(t 0)依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后,警察中午 12:00到达现场。依据法医测得 尸体温度为30C,室温20C。已知尸体从37C经两小时后变为35C,试推算下谋杀是什么 时间发生的?解:建立微分方程:设t从谋杀后计,t时刻尸体温度为Q (t)。由题物体冷却速度如血与温差H - 20成正 dt则dQ (t)dt=-k (Q - 20)Q (0) = 37(常数k 0,负号表示温度是减少的,即如心 0)有关,负号表示阻力与v(t)方向相反。则所受合力F =mg 一 kv由牛顿第二定律F = ma及加速度a =空得dtdvm = mg 一 kvdt初始条件为v|= 0t=0定义描述形如dy=f (x) g (y) dx的微分方程,称为可分离变量的微分方程。可分离变量微分方程的特点是:等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个是只含有x的 函数,另一个是只含有 y 的函数。可分离变量的微分方程通过分离变量为dy=f (x)dx,(g (y)工 0) g(y)对上式两边积分得J= I f (x) dxg(y)上式左端对y求积分,右端对x求积分,即可得到方程的解。把这种求解过程称为分离变量法,求解步骤:第一步,分离变量;第二步,两边分别积分回应任务引例 1求解解:(1)建立了 Malthus 人口模型7.2.1)7.2.2)dx =rx (r 0) 0ln x = rt + c即通解为x = e r+c = ce rt(7.2.3)(3)求特解将 x(t ) = x 代入式(7.2.3),即x = ce 0 = c0 0 0故特解为 x = x e rt0引例 2 求解解:(1)建立微分方程dy (t)dty (t)3%7.2.4)y(0) = 50002)求通解式(7.2.4)分离变量得7.2.5)空3 = 3% dt式(7.2.5)两边同时积分,得In y(t) = 3%t + c7.2.6)即通解为y (t) = 5000 e3%t(3)求特解将 y (0) = 5000 代入式(7.2.6 ),即5000 = ce 0 = c故特解为 y(t) = 5000 e3%t将 t = 2010 1995 = 15 代入 y (t) = 5000 e3%5引例 3求解解:( 1 )建立微分方程dQ (t) dt= k(Q 20)7.2.7)Q(0)=372)求通解对式( 7.2.7)分离变量得dQQ 20= kdt7.2.8)对式(7.2.8)两边积分得ln( Q 一 20) = kt + c得通解Q 一 20 = ce -k7.2.9)(3)求特解将初始条件Q(0) = 37代入(729),得c = 17 故特解为Q = 17 e -k + 20( 4 )实际问题求解根据已知条件 Q (2) = 35 代入35 = 17 e-k-2 + 20 得 k 0.063故t时刻尸体温度为Q(t) = 17 e - 0 .063 t + 20题目已知法医检验当时温度,即Q (t) = 30,即17 e -o.631 + 20 = 30得t = 8 .4即经过了 8小时 24分,故谋杀发生在3 点 36分引例 4 求解解:( 1 )建立微分方程dvm = mg 一 kv dtv|= 0t = 07.2.10)( 2 )求通解对式( 7.2.10)分离变量dv7.2.11)mg - kv对式( 7.2.11)两边积分1-ln( mg - kv ) kmg+ ce4-tmgk3)求特解将初始条件v=0代入通解得ct = 0故特解为mgmgemg(1 - emgt新的案例分析案例 1(曲线方程)设一曲线上任意一点切线垂直于该点与原点的连线,求此曲线方程。案例2 (冷却问题)将一个温度为80C的物体放在20C的恒温环境中冷却,已知物体冷却 速度与温差成正比,求该物体温度变化规律。案例3 (混合问题):容器内有清水100 l,今以3 l /min的速度从一管放进纯净水,以21 /min的速度从另一管抽出盐水,设容器内盐水浓度始终是均匀的,求容器内含盐量随时 间变化的规律。案例 4(时间推算)当一起谋杀案发生之后,警察上午 10: 00 到达现场,法医测得测得尸体温度为 30度,室温20度,已知尸体在最初2小时降低2度,谋杀是什么时间发生的?案例 5(衰变规律)求放射性元素质量衰变规律(已知衰变速度与它现存量成正比)第三节 一阶线性微分方程的解法dL引例1 (利润函数)已知某产品利润L与广告支出x的函数关系为dL = 2 - x - L dx 当x = 0时,L = 5求该产品的利润函数。dL解:题目已知dL = 2 - x - LdxdL可以写成dL + L = 2 - x
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