1 2简易逻辑一、命题1.1.1 如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的().(A)否命题必是真命题(B)否命题必是假命题(C)原命题必是假命题(D)逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A.1.1.2 命题“对任意的xCR,x3x2+1W的否定是().(A)不存在xR,x3x2+KO(B)存在xR,x3-x2+10(D)对任意的xCR,x3-x2+10解析“对任意的xCR,x3x2+1W/的否定是存在xCR,使得x3x2+10”，答案为C.1.1.3 与命题“若a?M,则b?M”等价的命题是().(A)若bCM,则a?M(B)若b?M,则aCM(C)若bCM,则aCM(D)若a?M,则bCM解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若bCM,则aCM，所以，答案为C.1.1.4 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)未2成立时，总可以推出f(k+1)k+1)2成立，那么，下列命题总成立的是().(A)若f(3)成立，则当时，均有f(k)亲2成立(B)若f(5)25立，则当kW5时，均有f(k)未2成立(C)若f49成立，则当kR8时，均有f(k)W,均有f(k)上2成立解析由2516得f(4)=25使彳#f(4)酒成立，由已知可得当kW,土有f(k)未2成立，答案为D.1.1.5 命题“若x21,则1xl则xMx1(B)若一1x1,则x21或x1(D)若x1或x1,则x21解析命题“若x21,则1xMxr,答案为D.1.1.6 在原命题“若AUB用，则AAB小”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是.解析原命题的逆否命题为“若AAB=A,则AUB=B.当AAB=A时，任取xCA=AAB,必有xCB,则A?B,必有AUB=B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题.原命题的否命题为“若AUB=B,则AAB=A，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题.所以，在这四个命题中，真命题的个数是4.1.1.7 若a,b都是非零实数，证明：|a|+|b|=|a+b|与ab0等价.解析若|a|+|b|=|a+b|,则(|a|+|b|)2=|a+b，a?+b2+2|a|b|=a?+b2+2ab,于是，|ab|=ab,可得ab0;若ab0,则或于是，|a|+|b|=|a+b|.所以，当a,b都是非零实数时，|a|十|b|=|a+b|与ab0等价.1.1.8 已知A和B都是非空集合，证明：AUB=AAB”与“A=B”是等价的.解析若AUB=AAB,则任取xCA,必有xCAUB=APB,于是，xCAAB,则xCB,所以，A?B,同理可得B?A,于是，A=B;若A=B,则显然有AUB=AAB,所以，“AUB=AAB”与“A=B”是等价的.1.1.9 已知a,b,c是实数，则与a,b,c互不相等”等价的是().(A)a而且b花(B)(ab)(bc)(ca)wo(C)(ab)2+(bc)2+(ca)2wo(D)a2,b2,c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a而且b花，a与c可能相等；由(ab)2+(bc)2+(ca)2wo可得a=b,b=c,c=a中至少有一个不成立，即(ab)2+(bc)2+(ca)，0等价于“a,b,c不全相等”，而不能等价于a,b,c互不相等”；a=1,b=0,c=1,此时a,b,c互不相等，但a2=c2,所以，“a,b,c互不相等”与“a2,b2,c2互不相等”不是等价的；a而等价于abwQ“a,b,c互不相等”等价于abwo,bcwqcaw。同时成立，所以，“a,b,c互不相等与(ab)(bc)(ca)w。等价，答案为B.“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为.叵遍罅.解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则abwG.若x2=y2,则x=y;若x亨，则x2亨2;若x2守2,则x刊；若x刊且xAy,则x2守2,其中真命题的序号是.解析由x2=y2可彳导*=丫或*=y,命题不成立；若x=yWQ此时x刊，而x2=y2,于是，命题不成立；若x2&2时有x=v,则可得x2=y2,矛盾，于是，命题成立；对于x型且x=y,如果x2=y2,则有*=丫或*=y,即x=y与x=y至少有一个成立，矛盾，于是，命题成立.所以，上述四个命题中，真命题的序号是和.p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根.命题q：方程4x2+4(m2)x+1=0没有实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围.应听讲解.解析当命题p为真时，应有解得m2.当命题q为真时，应有A=16(m2)2160,解得1m1,使“p且q”为假的m的取值范围是mW2或m3,所以，使两者同时成立的m的取值范围是m3或10,a2+a22+a230,a31+a32+a330可得数表中的九个数之和为正；同时，又有an+a21+a310,a2+a22+a320,a3+a23+a330,则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表.a,bCR,A=(x,y)|y=ax+b,xCZ,B=(x,y)|y=3x2+15,xCZ,C=(x,y)|x2+y2144都是平面xOy内的点的集合.求证：不存在APB与，且点(a,b)CC同时成立.解析设满足要求的a,b存在，则P(a,b)C,即a2+b212其中等号当且仅当3,即x2=3时成立，但它与xCZ矛盾，所以，使AAB名成立的(a,b)必有12,与a2+b2w14妤盾，所以，鼻t足要求的a,b不存在.“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意aCA,都有aa;(2)对称性：对于a,bA,若ab,则有ba;(3)传递性：对于a,b,cCA,若ab,bc,则有ac,则称“”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：.解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系.f(x)在R上是增函数，a,bCR,写出命题“若a+b0,则f(a)+f(b)f(a)+f(b)”的逆命题，并判断其真假.若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例.解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a,bCR.若f(a)+f(b)f(a)+f(b),则a+b0.该命题是真命题.证明如下：若a+bwq即aJb,由函数f(x)在R上是增函数得f(a)(b),同理f(b)(a),由此可得f(a)+f(b)/a)+f(b),与已知条件矛盾.所以，a+b0.二、充分条件和必要条件“周长相等”是“面积相等”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2%=2to得两圆半径ri=2,则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C.P:四边形四条边长相等，Q:四边形是平行四边形，则P是Q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A.a,b,c,d都是实数，则a=b且c=d是a+c=b+d的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析对于实数a,b,c,d,如果a=b且c=d,则有ab=0,cd=0,则a+c(b+d)=(ab)+(cd)=0,于是，a+c=b+d;反之，如果a=1,b=2,c=4,d=3,有a+c=b+d,但此时a曲，c我，所以，a=b且c=d是a+c=b+d”的充分不必要条件，答案为A.a,b,c是实数，贝Ua=b是ac=bc”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果a=b,则ab=0,于是，acbc=(ab)c=0,可得ac=bc;反之，如果c=0,a=1,b=2,此时有ac=bc,但a不，所以，a=b是ac=bc的充分不必要条件，答案为A.m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果m,n均为偶数，则m+n一定是偶数；反之，如果m=1,n=3,m+n=4为偶数，但此时m和n都不是偶数，所以，m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件，答案为A.A,B是全集U的两个子集，则虑B是？uAUB=U的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析由表示集合U,A,B关系的图形可知当A二B时必有？uAUB=U成立，反之，当A=B时，也有?uAUB=U成立，即A是B的真子集不是?uAUB=U成立的必要条件，所以，答案为A.M和P,xCM或xCP”是“*6“”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析由表示集合M,P的图形可知当xCM或xCP时不一定有xCMAP,而当xCMAP时必有xCM或xCP,所以，“xCM或xCP”是“xCMAP”的必要不充分条件，答案为B.x,y是实数，那么cosx=cosy是x=y的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析当cosx=cosy时，不一定有x=y,而当x=y时，必有cosx=cosy,所以，cosx=cosy是x=y的必要不充分条件，答案为B.x|)(1+x)0成立的充要条件为().(A)x1(B)1x1且xw1(D)x1且x1解析此不等式等价于或解得1x1或x-1,即为x0(B)ab0(D)ac0解析若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正数根x1和一个负数根x2,则x1x2=0,则ac0;反之，若ac0,此方程一定有两个实数根，且两根之积为0,这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程