.wd.极限计算方法总结简洁版一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一表达。说明：1一些最简单的数列或函数的极限极限值可以观察得到都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；等等 2在后面求极限时，1中提到的简单极限作为结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法则定理1，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 123说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限1 2 ； 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，1964，副教授。例如：，；等等。4等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小即极限是0。定理3 当时，以下函数都是无穷小即极限是0，且相互等价，即有： 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时，仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ； 。定理4 如果函数都是时的无穷小，且，则当存在时，也存在且等于，即=。5洛比达法则定理5 假设当自变量x趋近于某一定值或无穷大时，函数和满足：1和的极限都是0或都是无穷大； 2和都可导，且的导数不为0； 3存在或是无穷大； 则极限也一定存在，且等于，即= 。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1是否满足，即验证所求极限是否为“型或“型；条件2一般都满足，而条件3则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。7极限存在准则 定理7准则1 单调有界数列必有极限。定理8准则2 为三个数列，且满足：1 2 ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法则。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函数的连续性定理6求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法则。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求极限例8 解：原式=0 定理2的结果。5 利用等价无穷小代换定理4求极限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是错误的： 原式= 。正如下面例题解法错误一样： 。例11 解：， 所以， 原式= 。最后一步用到定理26 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 例4解：原式= 。最后一步用到了重要极限例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。连续用洛比达法则，最后用重要极限例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 解：易见：该极限是“型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= 分子、分母同时除以x= 利用定理1和定理27 利用极限存在准则求极限例20 ，求解：易证：数列单调递增，且有界02，由准则1极限存在，设 。对的递推公式 两边求极限，得：，解得：或不合题意，舍去。所以 。例21 解： 易见：因为 ，所以由准则2得： 。上面对求极限的常用方法进展了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。