高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义相关链接（1）已知角终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的值。注：若角的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。例题解析例已知角的终边落在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值。思路解析：本题求的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角的终边上任意一点P（4t,-3t）(t0)，求出r，由定义得出结论。解答：角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t0)，则x=4t,y=-3t.,来源:www.shulihua.netwww.shulihua.netr=5|t|,当t0时，r=5t,sin=,，；当t0时，r=-5t，sin=，。综上可知，sin= ，；或sin= ,.2、象限角、三角函数值符号的判断相关链接（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。例题解析例（1）如果点P（sincos,2cos）位于第三象限，试判断角所在的象限；（2）若是第二象限角，则的符号是什么？思路解析：（1）由点P所在的象限，知道sincos，2cos的符号，从而可求sin与cos的符号；（2）由是第二象限角，可求cos，sin2的范围，进而把cos，sin2看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定。解答：（1）因为点P（sincos,2cos）位于第三象限，所以sincos0，2cos0，即所以为第二象限角。（2）2k+2k+(kZ),-1cos0,4k+24k+2,-1sin20.sin(cos)0,0,的符号是负号。3、已知所在象限，求所在象限相关链接（1）由所在象限，确定所在象限的方法由的范围，求出的范围；通过分类讨论把角写成+k3600的形式，然后判断所在象限。（2）由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，（如图所示）；确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。（3）由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，（如图所示）：确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。例题解析例若是第二象限角，试分别确定2、的终边所在位置思路分析：写出的范围求出2、的范围分类讨论求出2、终边所在位置。解答：是第二象限角，900+k36001800+k3600(kZ),(1)1800+2k360023600+2k3600(kZ),故2是第三或第四象限角，或2的终边在y轴的非正半轴上。（2）450+k1800900+k1800(kZ),当k=2n(nZ)时，450+n3600900+n3600(kZ),当k=2n+1(nZ)时, 2250+n36002700+n3600(kZ),是第一或第三象限角。（3）300+k1200600+k1200(kZ),当k=3n(kZ)时，300+n3600600+k3600(kZ),当k=3n+1(kZ)时, 1500+n36001800+k3600(kZ),当k=3n+2(kZ)时, 2700+n36000,cos0,sin- cos=,由得tan=（2）来源:www.shulihua.netwww.shulihua.nettan=注：（1）对于sin+cos，sincos，sin-cos这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。转化的公式为(sincos)2=12 sincos;（2）关于sin，cos的齐次式，往往化为关于tanx的式子。5、扇形的弧长、面积公式的应用例已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是R。（1） 若=600，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。（2） 若扇形的周长是一定值C（C0），当是多少弧度时，该扇形有最大面积？思路分析：（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。解答：（1）设弧长为，弓形面积为，（2）方法一：扇形周长C=2R+=2R+R,R=当且仅当，即=2（=-2舍去）时，扇形面积有最大值。方法二：由已知2R+=C,当时，此时当=2弧度时，扇形面积有最大值。注：合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。二、三角函数的诱导公式1、三角函数式的化简相关链接（1），的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等。注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。例题解析例化简：思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。解答：当时，当时综上，原式=-12、三角函数的求值相关链接（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。例题解析例已知，求的值。思路解析：化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解解答：，3、诱导公式在三角形中的应用例1在ABC中，若sin(2-A)=sin(-)，cosA=cos(-)求ABC的三内角。思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=进行计算。解答：由已知得，化简得即（1）当时，又A、B是三角形内角，A=，B=，C=（2）当，又A、B是三角形内角，A=，B=，不合题意。综上知，A=，B=，C=注：在ABC中常用的变形结论有：A+B+C=，2A+2B+2C=2，sin(A+B)=sin(-C)=sinC;cos(A+B)=cos(-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.来源:www.shulihua.net以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。例2是否存在（，），（0，），使等式sin(3-)=cos(-), cos(-)= cos(+)同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由。思路分析：要想求出，的值，必须知道，的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去或的同名三角函数值。解答：假设存在，使得等式成立，即有化简得，继续化简可得，。又=或=。将=代入得cos=.又（0，），=，代入可知符合。将=代入得cos=.又（0，），=代入可知不符合。综上可知，存在=，=满足条件。注：已知角的三角函数值求角的一般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角所丰的象限；（2）据角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。三、三角函数的图象与性质1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接（1）与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。（2）用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所丰位置；根据变化趋势，确定不等式的解集。（3）用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是0，2）在直线y=a上方的图象；确定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanxa（tanxcosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。解答：（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0方法一：利用图象。在同一坐标系中画出0，2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinx=cosx的x 为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为方法二、利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则。定义域为方法三：sinx-cosx=sin(x-)0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2k x-+2k,解得