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2019学年北师大版数学精品资料章末综合检测(三)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1函数y的定义域为()A(4,1)B(4,1)C(1,1) D(1,1解析:选C.由题意知1x1.2若f(x)3x2x1,g(x)2x2x1,则f(x)与g(x)的大小关系是()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)Cf(x)0,故f(x)g(x)3不等式2的解集是()Ax|x8或x3Bx|x8或x3Cx|3x2Dx|3x2解析:选B.原不等式可化为20,即0,即(x3)(x8)0且x3,解得:x8或x3.4已知实数x,y满足x2y21,则(1xy)(1xy)有()A最小值和最大值1B最小值和最大值1C最小值和最大值D最小值1解析:选B.因为x2y2,当且仅当x2y2时,等号成立,所以(1xy)(1xy)1x2y2.因为x2y20,所以1x2y21.5若不等式0的解集相同,则a,b的值分别为()A8,10 B4,9C1,9 D1,2解析:选B.因为不等式0的解集为(2,),所以二次方程ax2bx20的两个根为2,所以,所以a4,b9.故选B.6不等式组的解集为()A4,3 B4,2C3,2 D解析:选A.4x3.7某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处解析:选A.设车站到仓库距离为x(x0),土地费用为y1,运输费用为y2,由题意得y1,y2k2x,因为x10时,y12,y28,所以k120,k2,所以费用之和为yy1y2x28,当且仅当,即x5时取等号8已知x,y满足约束条件则z2xy的最大值是()A1 B2C5 D1解析:选A.作出可行域,如图中阴影部分所示,易知在点A(1,1)处,z取得最大值,故zmax2111.9已知x0,y0.若m22m恒成立,则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m2解析:选D.因为x0,y0,所以8(当且仅当时取“”)若m22m恒成立,则m22m8,解之得4m2.10已知1xy4,且2xy3,则z2x3y的取值范围是()A3,8 B3,6C6,7 D4,5解析:选A.设2x3y(xy)(xy),则()x()y2x3y,所以解得所以z(xy)(xy)因为1xy4,所以2(xy).因为2xy3,所以5(xy).得,3(xy)(xy)8,所以z的取值范围是3,811若不等式x2ax10对一切x恒成立,则实数a的最小值为()A0 B2C D3解析:选C.因为不等式x2ax10对一切x恒成立,所以对一切x,axx21,即a恒成立令g(x).易知g(x)在内为增函数所以当x时,g(x)max,所以a的取值范围是,即a的最小值是.故选C.12已知x,y满足约束条件若目标函数zaxby(a0,b0)在该约束条件下取到的最小值为2,则a2b2的最小值为()A5 B4C. D2解析:选B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)显然,当直线zaxby过点A(2,1)时,z取得最小值,即22ab,所以22ab,所以a2b2a2(22a)25a28a20.构造函数m(a)5a28a20(a0),利用二次函数求最值,显然函数m(a)5a28a20的最小值是4,即a2b2的最小值为4.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分13函数y2x(x0)的值域为_解析:当x0时,y2222.当且仅当x,x2时取等号答案:(,214若不等式x24xm0的解集为空集,则不等式x2(m3)x3m0的解集是_解析:由题意,知方程x24xm0的判别式(4)24m0,解得m4,又x2(m3)x3m0等价于(x3)(xm)0,所以3xm.答案:(3,m)15已知O是坐标原点,点A(1,1),若点M(x,y)为平面区域内的一个动点,则的取值范围是_解析:画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示,因为(1,1),(x,y),所以xy.取目标函数zxy,则yxz.作斜率为1的一族平行线,当直线经过点C(1,1)时,z取最小值,即zmin110;当直线经过点B(0,2)时,z取最大值,即zmax022,于是0z2,即的取值范围是0,2答案:0,216已知实数a,b,c满足abc0,a2b2c21,则a的最大值是_解析:因为abc0,所以bca.因为a2b2c21,所以a21b2c2(bc)22bca22bc,所以2a212bcb2c21a2,所以3a22,所以a2,所以a.所以amax.答案:三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知函数f(x)x2,解不等式f(x)f(x1)2x1.解:由题意可得x2(x1)22x1,化简得0,即x(x1)0,解得0x1.所以原不等式的解集为x|0x118(本小题满分12分)正数x,y满足1.(1)求xy的最小值;(2)求x2y的最小值解:(1)由12得xy36,当且仅当,即y9x18时取等号,故xy的最小值为36.(2)由题意可得x2y(x2y)19192196,当且仅当,即9x22y2时取等号,故x2y的最小值为196.19(本小题满分12分)已知x、y、z是实数,a、b、c是正实数,求证:x2y2z22(xyyzxz)证明:法一:x2y2z22(xyyzxz)x22xyy2x22xzz2y22yzz20.所以x2y2z22(xyyzxz)成立当且仅当abc时等号成立法二:x2y2z22xy2xz2yz2(xyyzxz)当且仅当abc时等号成立20(本小题满分12分)已知函数f(x)x22x8,g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)2,均有f(x)(m2)xm15恒成立,求实数m的取值范围解:(1)g(x)2x24x160,所以(2x4)(x4)0,所以2x4,所以不等式g(x)0的解集为x|2x2时,f(x)(m2)xm15恒成立,所以x22x8(m2)xm15,则x24x7m(x1)所以对一切x2,均有不等式m成立又(x1)2222(当x3时等号成立)所以实数m的取值范围是(,221(本小题满分12分)一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?解:设水稻种x亩,花生种y亩,则由题意得即画出可行域如图阴影部分所示而利润P(3400240)x(510080)y960x420y(目标函数),可联立得交点B(1.5,0.5)故当x1.5,y0.5时,P最大值9601.54200.51 650,即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到的利润最大22(本小题满分12分)已知二次函数f(x)ax2bxc(a,b,cR)满足:对任意实数x,都有f(x)x,且当x(1,3)时,有f(x)(x2)2成立(1)证明:f(2)2;(2)若f(2)0,求f(x)的表达式;(3)设g(x)f(x)x,x0,),若g(x)图像上的点都位于直线y的上方,求实数m的取值范围解:(1)证明:由条件知:f(2)4a2bc2恒成立又因取x2时,f(2)4a2bc(22)22恒成立,所以f(2)2.(2)因为所以4ac2b1.所以b,c14a.又f(x)x恒成立,即ax2(b1)xc0恒成立所以a0,4a(14a)0,解得:a,c.所以f(x)x2x.(3)g(x)x2x,在x0,)上恒成立即x24(1m)x20在x0,)上恒成立,0,即4(1m)280.解得:1m1.解得:m1,综上m.
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