XX理工大学数值分析考试题07)一. 填空每空3分，共30分)1. 设 = 0.231是真值XT = 0.229的近似值，则X A有 位有效数字。2. 若f(x) = 6x7+ X4 + 3x +1，则f20,21,.27 = , f2o,2i,.28=。3.A=-3 1则 1罔卜；al=； |四|2=cond2(A=。4. 求方程X = f (X)根的牛顿迭代格式是。5. 设x = 10土5%，则求函数f (x) = nx的相对误差限为。2 1 0、6. A= 1 2 a，为使其可分解为LLl为下三角阵，主对角线元素0，a的取值XR a 2围应为。7. 用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。)二. 推导与计算一对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。12分x012f (x)123f (x)3二已知x=中(x)和中(X)满足I中(X)项1。请利用中(x)构造一个收敛的简单迭代函数中(x)，使气广中(七),k = 0,1,.收敛。8分(三)利用复化梯形公式计算I =亳7妆，使其误差限为0.5 X10 -6，应将区间0, 1等 0份。8分10 a 0一四设A= b 10 b , detAA0,推导用a, b表示解方程组AX=f的Seidel(G-S)迭0 a 5代法收敛的充分必要条件。10分)五确定节点与系数，建立如下GAUSS型求积公式dx 幻 A f (x ) + A f (x )10 分Jy = f (x, y)六对微分方程初值问题 y (x ) - y I 00h 3、(1) 用数值积分法推导如下数值算法：七+1 =七_ + 3( fn+1 + 4 fn + fn-1)，其中f = f (Xj, y, (i = n -1,n,n +1)。8 分(2) 试构造形如 y = a y + a y + h(b f + b f ),的线形一步显格式差分格n+10 n 1 n-10 n 1 n-1式,其中f = f (x , y ), f = f (x , y )。试确定系数a ,a ,b ,b ,使差 4Ai，。，nn n n -1n -1 n -10 1 0 1分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。14分考试时间2小时30分钟)08)一、填空每空3分，共30分)1. 若开平方查6位函数表，则当x=30时，vMT的误差限为。2. 若 f (x) = a xn +1,(a 。1),则fx ,x ,.x =。nn01n3. 若(一八X3,0 X 1S(x) = 1是3次样条函数，则(x -1)3 + a(x -1)2 + b(x -1) + c,1 x 3 12a=，b，C。(1 2、一4. A= ，则 |A| 二；|A| =； Cond (A) 二。I2 2J 1225. 考虑用复化梯形公式计算I 1 e - x2dx，要使误差小于0.5x 10-6，那么0,01应分为个子区间。6. (x) = x + a(x2 - 5)，要使迭代法x =中(x)局部收敛到x* = 富，即在邻域I x-法IV 1时，则a的取值X围是。二、计算与推导1、用追赶法解三对角方程组Ax = b，其中2-100-12-100-12-100-121 0，b=0012 分2、已知一组试验数据t12345y4.006.408.008.809.22请确定其形如y = 的拟合函数。13分 at + b3、确定系数，建立如下GAUSS型求积公式dx = Af (x ) + A f (x )。13 分4、证明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程组30-2-212llx * -X ( k ) |81x2x1- 3时，对任意的初始向量都收敛；若要求10Y-4，需要迭代几次推导时请统一取初始迭代向量X(0)二 (0 0 0)t？13 分5、试用数值积分法或Taylor展开法推导求解初值微分问题 y，= f ( x , y ), y ( x 0) = a的如下中点公式：y 2 = y + 2 hf (xy 与其局部截断误差。14分6、试推导jb jd f (x, y)dydx的复化Simpson数值求积公式。5分考试时间2个半小时)09)一、填空(每空3分，共36分)、IX3 + X2,0 X 11. S ( x) = (I 2 x 3 + bx 2 + cx -1,1 X 2是以0, 1, 2为节点的三次样条函数，则b=,c=。2. 设f(x) = 4x3 + 2x-1,则差商f0,1,2,3 =, f0,1,2,3,4=。3.函数f (x) = 3x3 + 2x2 - 4x + 5在-1, 1上的最佳2次逼近多项式是，最佳2次平方逼近多项式是。亳 +1 2 一4. A =，当a满足条件时，A可作LU分解；当a满足21条件时，A可作A = L LT分解;5.-20贝MlA| = , cond (A)=。320006 .求方程x = cos x根的newton迭代格式是。7.用显式Euler法求解V = -8。 y(0) = 1,要使数值计算是稳定的，应使步长0h。二、计算与推导、计算函数f (x) = sin(n3x)在x* = 0.0001附近的函数值。当n=100时，试计算在相对误差意义下f (x*)的条件数，并估计满足七(f (x*) = 0.1%时自变量的相对误差限和绝 对误差限。12分二、有复化梯形，复化simpson公式求积分1 exdx的近似值时，需要有多少个节点，才能保证近似值具有6位有效数字。12分四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法y+1+以(yn - yn 1) yn 2 = 2 (3 +以)h(fn+ f+1)中的a值，使方法是四阶的。12分五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据小数点后保留5 位x.1.02.03.04.00.81.51.82.0并计算其最小二乘误差。14分-2 x - 2 x = 13六、对下列线性方程组一2气+10x2 -x3 = 0.5， 构造一定常迭代数值求解公式，并证-x - 2x + 3x = 1123明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为X *，若取初始迭代向量X(0) = (000)t , 要使|x* - X(K)| 10-3，请估计需要多少次迭代计算。14分考试时间2个半小时10)一、填空每空2分，共24分)1. 近似数490.00的有效数字有位，其相对误差限为。2. 设f(x) = 4x7+ x4 + 3x +1,则f20,21,.27 = , f2o,2i,28=。3. 设f (x) = 2x4,x g 1,1, f (x)的三次最佳一致逼近多项式为。121.4. A = 3 4J，|可广，眺=，|处=。2 1 05. A = 1 2 1 ,其条件数Cond(A)2 =。0 1 2 J22 1 0一6. A = 1 2 。，为使分解A = L LT成立L是对角线元素为正的下三角阵，a的取0 a 2值X围应是。7. 给定方程组七ax2 = 5 , a为实数。当a满足且0YY 2时，SOR迭代法收敛。ax +x =b8. 对于初值问题y =100(y x2) + 2x,y(0) = 1，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h的X围是。二、推导计算1.应用下列数据表建立不超过3次的插值多项式并给出误差估计式x012f (x)129f/(x)315 分2.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据x1. 02. 03. 04. 0y0. 81. 51. 82. 0小数点后至少保留5位。15分3.确定高斯型求积公式 g (0,1)j1 寸xf (x)dx 就 A f (x ) + A f (x ), x000110的节点x ,x与积分系数A , A。15分） 0 101书内三、证明aa。证明当-：Y aY 1时高斯-塞德尔法收敛，1 a1.在线性万程组AX = b中，A = a 1a a而雅可比法只在Y a Y 5时才收敛。10分）*、八 22.给定初值X0丰0,-以与迭代公式x = x （2 一 ax ）,（k = 0,1,2., a 丰 0）证明该迭代公式是二阶收敛的。7分）3.试证明线性二步法一一 h 一一y + (b -1)y - by = - (b + 3)f + (3b + 1)f n+2n+1n 4n+2n当b。-1时，方法是二阶，当b = -1时，方法是三阶的。14分)12)一、填空题每空2分，共40分)1.设x* = 0.231是真值x = 0.228的近似值，则尤*有.位有效数字，x*的相对3.4.5.6.误差限为。过点(-1,0),(2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2=，并计算L2(0)=。设 f (x) = 3 x3 + 2 x2 4 x + 5 在 -1,1 上的最佳二次逼近多项式为，最佳二次平方逼近多项式为。高斯求积公式J I xf (x)dx = A f (x ) + Af (x )的系数A = 00011八方程组Ax = b , A = D - L - U,建立迭代公式x(5和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，BJacobi0，A1 =，节点 x0 =，x1=Bx(k)+ f，写出雅可比迭代法BGaussSeidel7.1成01201001一，其条件数Cn (a)28.，计算矩阵A的X数，11 A 11广II A II =29.求方程x = f (x)根的牛顿迭代格式是12253110.对矩阵A =3 2作LU分解，其L=5JJ，U=