【热点关注】等比数列问题中的数学思想等比数列是?数列?这一章中的重要内容 ,蕴含着极其丰富的数学思想。假设能有效的运用其数学思想 ,往往能快速找到解题思路 ,从而简捷准确求解一、方程的思想 例1 在等比数列中 , , ,求的前8项的和.分析：利用通项公式转化为根本量a1 ,q来表示 ,再运用方程的思想求得a1 ,q ,最后代入前n项和公式即可解：设公比为q ,由题意 ,有 由 ,得将代入1 ,得舍去；将代入1 ,得。当q2时 , ,；当时 ,评注：等比数列的通项公式 ,前n项和公式集中了等比数列的五个根本元素、q、n、“知三求二是等比数列最根本的题型 ,通过解方程的方法到达解决问题的目的.二、数形结合思想例2 等差数列an的公差d0 ,等比数列bn 的公比q1 ,且a1b1c(c0) ,a100b100 ,那么a50与b50的大小关系是( ) .A.a50b50 B.a50b50 C.a50b50 D.无法确定分析：常规方法计算量较大 ,由于数列是特殊的函数 ,可画出图象 ,运用数形结合法解决解：由ana1(n1) ddn(cd)(d0) ,bn (q1) ,那么点(n ,an) ,(n ,bn )分别在直线及指数型函数yA上 ,它们都是增函数如下图 ,显然有a50b50 ,应选A评注：数列是特殊函数 ,它的图象是由一些有规律的间断点构成的 ,具有鲜明的几何意义。等差数列在平面直角坐标系中的点n ,、n ,、n , ,当时分别在直线、抛物线及直线上；等比数列在平面直角坐标系中的点n ,在yA(q0)上 ,这样就可以利用这些间断点的规律 ,借形攻数.三、分类讨论思想例3 设an是由正数组成的等比数列 ,Sn是前n项和 ,求证：0 ,q0.(1)当q=1时 ,Sn=na1 ,SnSn+2Sn+12=na1(n+2)a1(n+1)a12=a120；(2)当q1时 ,Sn= ,SnSn+2Sn+12=a12qn0综合(1)和(2)得SnSn+2Sn+12 ,从而有lgSn+1.点评：在分类讨论时 ,要注意做到“既不重复 ,又不遗漏 ,从而使解题具有完整性.四、整体的思想例4 各项都是实数的等比数列an ,前n项的和记为Sn ,S1010 ,S3070 ,求S40分析：直接求a1 ,q比拟繁 ,可考虑运用整体的思想解：设该等比数列首项为a1 ,公比为q ,由题意知q1.由公式Sn ,得以上两式相除 ,得q20q1060 ,解得q102 ,代入(*) ,有10所以S4010(15)150评注：此题是整体求出q10及的值 ,再代入S40中 ,从而减少了运算量 ,使计算合理又迅速 / / /