微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限2设，求 0 3已知 ，则.4已知（为常向量），则5已知，（为常向量），则 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 密切平面_.7. 曲率恒等于零的曲线是_ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点处则为曲面的_ 正常_点. 12 已知，则13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设曲线，当时的切线方程为17设曲线，当时的切线方程为.18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.19. u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .22已知，其中，则整理为word格式23已知，其中，则24设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面25如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面的第一基本形式为，面积微元为27悬链面第一基本量是28曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.29正螺面的第一基本形式是30双曲抛物面的第一基本形式是31正螺面的平均曲率为 0 32方向是渐近方向的充要条件是33. 方向和共轭的充要条件是34.是主曲率的充要条件是35.是主方向的充要条件是36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上的正投影曲线(C*)的曲率39之间的关系是40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为整理为word格式42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题1已知，则为（ A ）A. ； B. ； C. ； D. .2已知，为常数，则为（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .其中为常向量3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）A切线与固定方向成固定角； B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直； D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A至少有两个； B只有一个； C只有两个； D可能没有.5球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A测地线； B曲率线； C法截线； D渐近线.6. 已知，求为（ D ）A. ； B. ； C. ； D. .7圆柱螺线的切线与轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角； D. 有固定夹角.8设平面曲线，s为自然参数，是曲线的基本向量叙述错误的是（ C ）A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .9直线的曲率为（ B ）A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）A. ； B. ，为的旋转角； C. ； D. .11对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）整理为word格式A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.12下列论述不正确的是（ D ）A. 均为单位向量； B. ； C. ； D. .13对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）A. 充分不必要条件；B.必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D.充要条件.14在点的切线与轴关系为（ D ）A. 垂直；B. 平行； C. 成的角；D. 成的角.15椭球面的参数表示为（ C ）A. ； B. ；C. ；D. .16曲面在点的切平面方程为（ B ）A. ； B. ；C. ； D. .17球面的第一基本形式为（ D ）A. ； B. ；C. ； D. .18正圆柱面的第一基本形式为（ C ）A. ； B. ； C ； D. .19在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（ B ）A ； B ；C ； D 20设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） A ； B ； C ； D 21高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ） A ； B ； C； D 3整理为word格式23当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ） A ； B ； C ； D 24如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） A 直线； B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1. 向量函数具有固定长度，则. 2. 向量函数具有固定方向，则. 3. 向量函数关于t的旋转速度等于其微商的模. 4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. 5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. 6. 圆柱面线是渐近线. 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换. 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16. 曲面上的直线一定是测地线 17. 微分方程表示曲面上曲线族. 18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. 22. 球面上的圆一定是测地线. 23. 球面上经线一定是测地线. 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. 四、计算题1求旋轮线的一段的弧长解 旋轮线的切向量为，则在整理为word格式一段的弧长为： 2求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量解 由题意知 ， ，在原点，有 ，又 ，所以有.3圆柱螺线为，求基本向量； 求曲率k和挠率.解 ，又由公式由一般参数的曲率公式及挠率公式有，.4求正螺面的切平面和法线方程解 ，切平面方程为，法线方程为5求球面上任一点处的切平面与法线方程 解 ， ，整理为word格式 球面上任意点的切平面方程为即，法线方程为即6求圆柱螺线在点处的密切平面.解 所以曲线在原点的密切平面的方程为 即.7求旋转抛物面的第一基本形式解 参数表示为，8求正螺面的第一基本形式解 ，9计算正螺面的第一、第二基本量解 ，整理为word格式10计算抛物面的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为，则， ， ， ， ，11. 计算正螺面的高斯曲率.解 直接计算知，12. 求曲面的渐近线.解 ，则， 所以，L=0， ，渐近线微分方程为，化简得， 渐近线为y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面上的曲率线.解 整理为word格式 ， 曲率线的微分方程为: 或积分得两族曲率线方程:14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.解 ， ， ， .15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即 ，代入主曲率公式，所以两主曲率分别为 . 16. 求曲面在点(1,1)的主方向. 解 整理为word格式 代入主方向方程，得,即在点(1,1)主方向.17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点解 由 得 v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程解 由 得 令 得u=0 或v=0 所以抛物点的轨迹方程为 或.19.求圆柱螺线自然参数表示.解 由得 弧长 曲线的自然参数表示为 20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为则主法线曲面为：则所以腰曲线是 21求位于正螺面上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋