第三章 证明（三）4.1平行四边形（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节所涉及的很多命题在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论。学生的活动经验基础：学生在前面的学习过程中已经能够通过探索、猜测、合作、交流、质疑等基本的数学方法去发现问题、提出问题、并猜测问题解决的基本策略，具有了初步的推理论证能力。二、教学任务分析使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。尽可能地为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索发现猜想证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。注意引导学生探索证明不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，注意提高学生的逻辑证明的能力三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：环节：回顾、导入新内容；环节：探究、质疑找方法；环节：中途小结、强化思路；环节：应用、深化认识；环节5：课堂总结。环节：回顾、导入新内容内容：师：前面我们已经学习过平行四边形的判定，现在我们来回顾一下判定的具体内容。生：平行四边形的判定有4条l 两组对边分别平行的四边形是平行四边形l 两组对边分别相等的四边形是平行四边形l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形l 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形师：很好。那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。生：他们都是真命题。生：我们特别关注第一条，它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条不同的地方。师：大家刚才的发言都非常好，但是大家注意到没有它们都不是我们现在知识体系中的公理？它们的正确性是需要我们证明的。生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么。师：很好的体会，今天我们就来解决这个问题。师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。目的：充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为“教-学”找到良好的切入点。实际效果：为本节课找到了较为符合学生已有的知识建构良好的切入点，并且调动了学生的积极性，为后续学习作了良好的知识、热情的准备。环节：探究、质疑找方法内容：学生自由组合，探索有关平行四边形判定的问题，自由交流、质疑、寻求帮助。目的：尽可能以学生“生成的问题”和寻求解决问题策略的过程作为课堂重要的支撑点。充分调动每个学生的原认知、和已有的知识构建去解决新问题。实际效果：自由组合，主动探索，激发了学生学习的主动性，取得较好的教学效果，课堂气氛活跃。下面是一个教学片断：生：老师我们发现这种命题没法证明。师：为什么？生：比如说下面这个题：它有已知条件（AD/BC, CDBDBA）吧？师：对。生：它有让我们解决的问题（四边形 ABCD是平行四边形吗）吧？师：对。生：那你说在上面的命题中，哪一个有这些？找不到已知条件还怎么证明阿？师：这一组同学找到了解决问题途中的一个坎儿，看看其他同学又没有好的建议或方法？生：我们认为任何一个命题都由“条件”“结论”两部分构成，比如下面这个命题：l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形中，“一组对边平行且相等”是它的条件，而“四边形是平行四边形”就是我们要解决的问题。我们小组的坎儿是：虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有图形。师：没有图形对我们解决问题有影响吗？生：当然有。那一组平行且相等的边没有标记，会导致我们没有办法写过程 ，就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以？师：看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一小组同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？生：我们也不确定师：那好，每一组同学分成两部分，一部分选择，为“平行且相等的对边”另一组同学选择，为“平行且相等的对边”看看我们能不能完成对l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这个命题的证明。生：我们选择“，为“平行且相等的对边”这样命题l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了“四边形中，/且，求证四边形是平行四边形”证明：连接/CD ABD=CDB 又，/四边形是平行四边形。生：老师他们的这个题目连接也可以用同样的方法证明。师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度对这个问题加以验证。那选择“选择，为“平行且相等的对边”的同学得到结论了吗？生：我们选择“，为“平行且相等的对边”这样命题l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了“四边形中，/且，求证四边形是平行四边形”证明：连接/ BDDB 又，/四边形是平行四边形。我们也可以连接再证明。环节：中途小结、强化思路内容:师：大家看我们构造了两种符合题意的图像，并且用不同的方式进行了验证，我们却最终同样验证了结论的正确性。其实也就是说生：只要我们构造的图像符合命题的原本意思就可以。师：非常好。通过我们共同的交流合作已经比较好地解决了自己提出的问题，现在我们来试着总结一下我们的探索过程遇到新问题：（命题的证明）同学们根据自己已有的知识建构探索求解策略或提出解决问题时遇到的难以解决的问题（寻找已知求证、如何构造图象）我们合作交流各个击破每一个小问题使新问题得到解决师：哪位同学试着总结一下对于命题的证明其主要的过程应该是怎样的？生：我们要根据命题构造出符合其真实意思的图像，写出明确的已知、求证然后再去寻求解决问题的具体方法。师：既然大家已经通过自己的探索找到了证明一个命题的基本思路，下面我们来证明l 两组对边分别相等的四边形是平行四边形生：由前面的证明我们可以很简单的得到证明的过程：首先画出符合题意的图像，写出已知求证。已知：四边形中，求证：四边形是平行四边形证明：连接， 又/，/四边形是平行四边形。同理我们也可以连接来证明。师：这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路？生：老师既然刚才我们已经证明了l 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形所以只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种思路证明：连接， 又/四边形是平行四边形。师：很好，这种思路同时透露出一个重要的信息。这里有必要再次回顾一下我们的公理体系：这些都可以作为我们证明的依据，但当一个命题的正确性一旦被验证我们称之为定理。可以直接成为我们证明一个新命题的依据。（如上一同学的方法）目的：使学生养成良好的从思考中掌握方法、提出猜想、大胆突破的好的数学品质。实际效果：通过这种阶段性的小结，学生从知识和学习品质上的收获都比较大。环节：应用、深化认识内容：师：下面我们来处理一些具体问题已知:如图求证:四边形MNOP是平行四边形生展示其证明过程：证明: (x-3）2（x5）2=42x=8MN=5=POPM=3=ON四边形MNOP是平行四边形.师：还有不同的思路吗？生展示其证明过程：证明：(x-3）2（x5）2=42x=8PM=11-8=3PM2+MO2=PO2PMO=90PM/ON且ON=8-5=3四边形MNOP是平行四边形.生分析证明过程：我们还可以在得知以后，证明，从而得到内错角相等，利用两组对边分别平行得证。目的：巩固本节课的基本知识点、在探索过程中所渗透的基本的数学方法、数学品质，期待其思维能受到一定的冲击、有所突破。实际效果：学生运用所学知识解决实际问题的能力有明显的加强，并且恰当地选择贴近学生生活的情景又能够更好地激发学生的学习激情。环节5：课堂总结内容：师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课生：学习了命题证明的方法。生：解决新问题可以把它分解为几个简单的小问题生：互相合作可以解决个人解决不了的问题生：老师还有几个问题我希望课后我们能有时间我们再交换一下意见。目的：培养学生及时总结、回顾的品质，以及从回顾中找到自己学习中还存在的不足、问题的求实的作风。实际效果：通过总结对掌握本节课的知识点以及思维方法有很大的帮助。四、教学反思、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。比如本节课就是以学生在学习过程中生成的问题为主轴来完成本节课，而没有机械的套用课本的设计。2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过小组合作社会调查、课堂展示，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，帮助学生形成积极主动的求知态度。3、注意的方面：这种以学生的生成问题为主导的课，对大部分学生来说效果都非常好，但是对于一部分思维特别活跃的学生来说，其潜能力往往出乎我们的预料，所以如何更好地预测这一部分学生的思维动向，为其上课备好充足的“营养”需要我们继续加强。9