第9节 二元函数的泰勒公式设连续可导的任意。固定，记，则 （*）下面设充分连续可导。固定，记.我们用数学归纳法证明：。（1）当时。由复合函数的求导法则，可求得（2）归纳地设公式对于时是对的。当时。记由（*），公式也是对的。，由一元函数的泰勒公式，得 (9.2)因此，(，)， (9.1)其中 我们有二元函数的泰勒公式：定理9.1(二元函数的泰勒公式) 设函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内的任一点，有， (9.1)其中，此式称为二元函数在点处带拉格朗日型余项的泰勒公式 是没有意义的，只有的右边才有意义。若，则得， (9.3)称之为二元函数的中值公式特别地，若令，便得到二元函数的麦克劳林公式：， (9.4)【例9.1】设，在点附近用二次多项式逼近，并用它计算的近似值解由题意，用在处的二阶泰勒公式去掉余项即可得到所要求的二次多项式因为，得，于是有，令，故【例9.2】求的阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式解令，则有，当时，由一元函数的泰勒公式，有，将代入，得，习题9-9求函数在点处的二阶泰勒多项式*求函数的三阶麦克劳林公式求函数在的邻域内的泰勒公式求函数的阶麦克劳林公式并写出余项利用三阶泰勒多项式求的近似值