2013年高考新课标全国卷数学（文）函数与导数样题一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科11）当0x时，4x0时，（xk） f（x）+x+10，求k的最大值评析：（）如何想到分两种情况呢？是因为考虑两边取对数时无意义，因此想到分；分类的标准是：可取对数与不可取对数划分的。（）恒成立问题转化考察变量分离求最值，构造函数求最值，需研究单调性就需要求导，零点不可能解出，要对零点进行估计，需再次构造函数研究单调性，求导，知递增，试验知零点在1，2之间，据增减性，最大为2.注：恒成立、二次求导、零点的估计、单调性综合考察，一环扣一环，综合能力要求较高。10. （2011年高考新课标全国卷文科21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）证明：当，且时，。解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。评析：考察1、2、3工程（即设切点，切点在原曲线上；切点在切线上；切点处的导数等于切线的斜率。）（）由（）知f(x)=所以考虑函数则h(x)=所以x1时h(x)0而h(1)=0故x时h(x)0可得x h(x)0可得从而当，且时，。评析：构造函数证明不等式，本题没对原始函数直接求导（因直接求导太复杂走入死胡同），而是采取对扯分出的一个函数研究，问题划归为证x时，x时，划归为证新的两个不等式，而它求导易，判单调性也易，证明变易。注：原函数扯分、分离出一个相对较简单的函数，此技术应引起高度注意。这种方法在2012年又进行了考察，如分离出一个再研究，情况类似。11. （2010年高考新课标全国卷文科21）本小题满分12分）设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（）。令，则。若，则当时，为增函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0.综合得的取值范围为评析：2010原函数扯分、分离出一个相对较简单的函数， 问题转化，使得问题简化。结合图像思考解答。不分离的话将无法进行。注：2010、2011、2012原函数扯分、分离出一个相对较简单的函数，3年均进行了考察，应给于足够关注。再者注意：函数导数二问分类讨论、证不等式、恒成立问题等考察综合能力要求较高，还望同学根据自己的具体情况，灵活机动的学习，不要攀比，量力而行。高考新课标全国卷文科函数导数难度有逐年增大的趋势，预计2013难度不会大减，指数函数或对数函数含有字母，求字幕范围的可能性比较大，但也不排除三角函数含有字母或多项式函数含有字母的问题，只有这4种情况。12.(2012年高考山东卷文科22) (本小题满分13分)已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；【解析】(I)，由已知，.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.评析：原函数扯分、分离出一个相对较简单的函数，二次求导应引起注意，雷同高考新课标全国卷2012。13. (2012年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知aR，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0. (2)由于，当时，.当时，.设，则.则有01-0+1减极小值增1所以.评析：本题2问分类标准：是按的绝对值去掉为分类标准；其次利用导数研究。是一道多项式函数含有字母的问题。14. (2012年高考福建卷文科22)（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。 由（1）知f（x）=，f（0）=-0，解：（1） 由已知得 对于任意 当； 不合题意； 解得， 综上所述，得 （2） 在内有且只有两个零点，证明如下： 由（1）知，从而有，； 所以内至少存在一个零点。 又由（1）知，故。 当时，令 由当时，故当时，故当时，即，又且，从而；综上所述，在内有且只有两个零点。评析：本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识；是一道利用导数研究三角函数含有字母的问题。15. (2011年北京文科18)（18）（本小题共13分） 已知函数。（）求的单调区间；（）求在区间上的最小值。【解析】：（）令，得 与的情况如下：x（）（0+所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（）当，即时，函数在0，1上单调递增，所以（x）在区间0，1上的最小值为当时，由（）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，1上的最小值为；当时，函数在0，1上单调递减，所以在区间0，1上的最小值为评析：本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识；是一道利用导数研究指数函数含有字母的问题。16. (2011年浙江文21)（21）（本小题满分15分）设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （）解：因为所以由于，所以的增区间为，减区间为 （）证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要解得评析：本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识；是一道利用导数研究对数函数含有字母的问题。本题2问采用特殊值1的函数值确定的范围是关键，简单明了，值得注意.或创新解法：（）证明：当；由（）知内单调递减， 无解；时； 有一式和前提知无解；时；要使恒成立，只要解得评析：本题2问采用分类讨论的方法，划分标准是1在区间内外3类，思路清晰，但运算较繁。17. 2010年高考山东卷文科21）（本小题满分12分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。【解析】解：（） 当 所以 因此， 即 曲线 又 所以曲线（）因为 ， 所以 ， 令 （1） 当a=0时，g(x)=-x+1，x（0，+），所以 当x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减（2） 当a0时，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 当a=1/2时，x1= x2, g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在（0，+）上单调递减; 当0a10x(0，1)时，g(x)0,此时f(x)0,此时f(x)0，此时f(x)o，函数f(x)单调递减 当a0时，由于1/a-10,此时f,(x)0函数f(x)单调递减；x（1，）时，g(x)0此时函数f,(x)0单调递增。综上所述：当a0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;函数f(x)在 (1, +) 上单调递增当a=1/2时,函数f(x)在(0, + )上单调递减当0a1/2时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增； 函数f(x)在（1/a,+ ）上单调递减。评析：本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识；是一道利用导数研究对数函数含有字母的问题。本题2问采用分类讨论的方法，一级分类标准是：一次、二次；二级分类：二次的情况下（）分等根、不等根 ；三级分类：不等根的情况下按根的大小再分。分类思路清晰，要注意体会分类标准的