高考大题专攻练 7.立体几何(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD.(1)证明：平面ACD平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D -AE-C的余弦值.【解题导引】(1)若证明平面ACD平面ABC可根据面面垂直的判定在平面ACD内找一条线垂直平面ABC，从而转化为线面垂直，再利用线线垂直确定线面垂直.(2)利用(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，求平面ADE和平面ACE的法向量，求法向量的余弦值得二面角的余弦值.【解析】(1)如图，取AC中点O，连接OD，OB.由ABD=CBD，AB=BC=BD知ABDCBD，所以CD=AD.由已知可得ADC为等腰直角三角形，D为直角顶点，则ODAC，设正ABC边长为a，则OD=AC=a，OB=a，BD=a，所以OD2+OB2=BD2，即ODOB.又OBAC=O，所以OD平面ABC，又OD平面ACD，所以平面ACD平面ABC.(2)如图，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，当E为BD中点时，平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，故可得A，D，C，E，则=，=.设平面ADE的一个法向量为n1=，则即令z1=1，则x1=1，y1=，所以n1=.同理可得平面AEC的一个法向量n2=，所以cos=.因为二面角D -AE-C的平面角为锐角，所以二面角D -AE-C的余弦值为.2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知ABCD，ADCD，AB=AD=CD.(1)求证：BF平面CDE.(2)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)因为AFDE，AF平面CDE，DE平面CDE，所以AF平面CDE，同理，AB平面CDE，又AFAB=A，所以平面ABF平面CDE，又BF平面ABF，所以BF平面CDE.(2)因为正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CDAD，所以CD平面ADEF，因为DE平面ADEF，所以CDED，因为ADEF为正方形，所以ADDE，因为ADCD，所以以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则设AD=1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，F(1，0，1)，A(1，0，0)，=(1，1，0)，=(1，0，1)，取平面CDE的一个法向量=(1，0，0)，设平面BDF的一个法向量为n=(x，y，z)，则即取n=(1，-1，-1)，cos=，所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为.