精品资料数学精选教学资料精品资料课时提升作业(十三)直线与平面垂直的判定(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015大连高二检测)直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选A.因为直线l平面,所以l与相交,又因为m,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm.故l与m不可能平行.2.(2015济南高一检测)直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是()A.l和平面相互平行B.l和平面相互垂直C.l在平面内D.不能确定【解析】选D.如图所示,直线l和平面相互平行,或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能.3.直线l与平面所成的角为70,直线lm,则m与所成的角等于()A.20B.70C.90D.110【解析】选B.因为lm,所以直线l与平面所成的角等于m与所成的角,又直线l与平面所成的角为70,所以m与所成的角为70.4.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在【解析】选B.当l1l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.5.(2015滁州高一检测)已知两条直线m,n,两个平面,给出下列四个说法:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确说法的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.正确;对于,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行,因此是错误的;对于,直线n也可能与平面相交,也可能在平面内,因此是错误的;对于,由m且,得m,又mn,故n,因此是正确的.【补偿训练】如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是()A.B.C.D.【解析】选A.三角形的两边,圆的两条直径一定相交,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为.【解析】如图所示,连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在RtBD1B1中,tanBD1B1=,则BD1B1=.答案:7.(2015宜春高一检测)如图,ABC是直角三角形,ACB=90,PA平面ABC,则此图形中有个直角三角形.【解析】因为PA平面ABC,所以PAAC,PAAB,PABC,因为ACBC,且PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC.综上知:ABC,PAC,PAB,PBC都是直角三角形,共有4个.答案:48.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,M为线段BB1上的一动点,则直线AM与直线BC的位置关系为.【解析】因为AA1平面ABC,所以BCAA1,因为ABC=90,所以BCAB,又ABAA1=A,所以BC平面AA1B1B,又AM平面AA1B1B,所以AMBC.答案:垂直三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,BC=CD,ACB=ACD.求证:BD平面PAC.【解题指南】将证明线面垂直问题转化为证明线线垂直问题.【证明】因为BC=CD,所以BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为PA底面ABCD,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.【拓展延伸】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,PC平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成角的正弦值.【解题指南】过A作BC的垂线,联系PC平面ABCD,利用线面垂直的判定定理可以证明所作垂线与平面PBC垂直.【解析】过A作AHBC于H,连接PH.因为PC平面ABCD,AH平面ABCD,所以PCAH,又PCBC=C,所以AH平面PBC.所以APH为PA与平面PBC所成的角,边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,所以ABC为正三角形,又AHBC,所以H为BC的中点,AH=,因为PC=AC=2,所以PA=2,所以sinAPH=,故PA与平面PBC所成的角的正弦值为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015文昌高二检测)如图,如果MC菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直异面D.相交但不垂直【解析】选C.连接AC,因为MC平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDMC,因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC,又MCAC=C,所以BD平面MAC,又MA平面MAC,所以MABD.2.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1【解析】选D.由题易知,A1C1平面BB1D1D,又OB1平面DD1B1B,所以A1C1B1O.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,给出下列说法:若l,则l与相交;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.其中正确说法的序号为.【解析】显然正确;对,只有当m,n相交时,才有l,故错误;对,由lm,mnln,由l,得n,故正确;对,由lm,ml,再由nln,故正确.答案:4.(2015福州高二检测)如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中正确的有个.ACSB;AB平面SCD;SA与平面ABCD所成的角是SAD;AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.【解析】因为SD底面ABCD,所以ACSD,因为四边形ABCD是正方形,所以ACBD,又BDSD=D,所以AC平面SBD,所以ACSB,故正确.因为ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD,故正确.因为AD是SA在平面ABCD内的射影,所以SA与平面ABCD所成的角是SAD.故正确.因为ABCD,所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角,故正确.答案:4【延伸探究】本题中,试作出SA与平面SBD所成的角.【解析】设ACBD=O,连接SO,因为AC平面SBD,所以SO为斜线SA在平面SBD内的射影(如图),则ASO是SA与平面SBD所成的角.三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015临沂高一检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PACD,PA=1,PD=.(1)求证:PA平面ABCD.(2)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA=1,PD=,所以PD2=PA2+AD2,所以PAAD,又PACD,ADCD=D,所以PA平面ABCD.(2)四棱锥P-ABCD的底面积为1,因为PA平面ABCD,所以四棱锥P-ABCD的高为PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为.【误区警示】证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件.6.(2015西安高一检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF平面PAB.(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值.【解析】(1)连接BE,EP.由题意知PDE=BCE=90,因为ED=CE,PD=AD=BC,所以RtPDERtBCE,所以PE=BE.因为F为PB中点,所以EFPB.因为PD底面ABCD,所以PDAB,因为DAAB,PDAD=D,所以AB平面PAD,所以PAAB.在RtPAB中,因为PF=BF,所以PF=AF.又因为PE=BE=EA,所以EFPEFA,所以EFFA.因为PBAF=F,所以EF平面PAB.(2)不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=.所以PAB为等腰直角三角形,且PB=2.因为F是PB的中点,所以BF=1,AFPB.因为AFEF=F,所以PB平面AEF.设BE交AC于点G,过点G作GHPB交EF于点H,则GH平面AEF.故GAH为AC与平面AEF所成的角.由EGCBGA可知,EG=GB,AG=2CG,所以EG=EB,AG=AC=.由EGHEBF,可知GH=BF=.所以sinGAH=,所以AC与平面AEF所成角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版学习资料