相似三角形综合题（中考）1 已知：直角梯形 OABC 中，CBOA，对角线 OB 和 AC 交于点 D，OC=2，CB=2，OA=4，点 P 为对角线 CA 上的一点，过点 P 作 QHOA 于 H，交 CB 的延长线于点 Q，连接 BP， 如 BPQPHA，则点 P 的坐标为2如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标是（0，3），点 A 的坐标是（8，0），点 B 的 坐标是（4，3），P、Q 分别是 x、y 轴上的两个动点，点 P 从 C 出发，在线段 CB 上以 1 个 单位/秒的速度向点 B 移动，点 Q 从 A 出发，在线段 AO 上以 2 个单位/秒的速度向点 O 移 动设点 P、Q 同时出发，运动的时间为 t（秒）（1）当 t 为何值时，PQ 平分四边形 OABC 的面积？（2）当 t 为何值时，PQOB？（3）当 t 为何值时，PQAB？（4）当 t 为何值时 OPQ 是等腰三角形？四 边OMPC形3如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标为（6，0），（6，8）动 点 M、N 分别从 O、B 同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中，点 M 沿 OA 向终 点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动，过点 N 作 NPBC，交 AC 于点 P，连接 MP，已知 动点运动了 x 秒（1）用含 x 的代数式表示 P 的坐标（直接写出答案）；（2）设 y=S ，求 y 的最小值，并求此时 x 的值；（3）是否存在 x 的值，使以 P 、A、M 为顶点的三角形 AOC 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由4（2012 镇江）等 ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为边向两侧作等 APD 和等 APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如 图 1）（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x若 BM=3/8 ，求 x 的值；求四边形 ADPE 与 ABC 重叠部分的面积 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； 连接 DE 分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2）当 x 为何值时，BAD=15？此时， 以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由5（2012漳州）如图，在 OABC 中，点 A 在 x 轴上，AOC=60，0C=4cmOA=8cm动点 P 从点 0 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 OAAB 运动；动点 Q 同时从点 O 出发，以 acm/s 的速度沿线段 OCCB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动设运动 时间为 t 秒（1）填空：点 C 的坐标是（ ， ），对角线 OB 的长度是 cm；（2）当 a=1 时， OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时， S 的值最大？（3）当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M若以 O、 M、P 为顶点的三角形 OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围6（2012玉林）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（0，4），现有两动点 P，Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒 2 个单位长度 的速度匀速向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C，D）以每秒 1 个单位 长度的速度匀速向点 D 运动点 P，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t（秒），当 t=2 （秒）时，PQ=2（1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围（2）连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E，把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F，连接 EF，则 AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求 出 S 的值（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？7（2012宜昌）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90点 E 为底 AD 上一 点， ABE 沿直线 BE 折叠，点 A 落在梯形对角线 BD 上的 G 处，EG 的延长线交直线 BC 于点 F（1）点 E 可以是 AD 的中点吗？为什么？（2）求证 ABGBFE；（3）设 AD=a，AB=b，BC=c当四边形 EFCD 为平行四边形时，求 a，b，c 应满足的关系；在的条件下，当 b=2 时，a 的值是唯一的，求C 的度数8（2012威海）探索发现已知：在梯形 ABCD 中，CDAB，AD，BC 的延长线相交于点 E，AC，BD 相交于点 O， 连接 EO 并延长交 AB 于点 M，交 CD 于点 N（1）如图，如果 AD=BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线（2）如图，如果 ADBC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由学以致用仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形 ABCD 的一条对称轴（写出作图步骤，保留 作图痕迹）9（2012三明）在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），BPE=1/2ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BFPE，垂足为 F，交 AC 于点 （1）当点 P 与点 C 重合时（如图 1）求证 BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：BF/PE = ,并结合图 2 证明你的猜想；（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图 3），若ACB=，求 BF/PE 的值（用 含 的式子表示）10（2012莆田）（1）如图，在 ABC 中，ABC=90，BDAC 于点 D求证： AB2=ADAC；（2）如图，在 ABC 中，ABC=90，点 D 为 BC 边上的点，BEAD 于点 E，延长 BE 交 AC 于点 FAB/BC=BD/DC=1,求 AF/FC 的值；（3）在 ABC 中，ABC=90，点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B、C 重合），直线 BEAD 于点 E，交直线 AC 于点 F若 AB/BC= BD/DC=n ，请探究并直接写出 AF/FC 的所有可能的值（用含 n 的式子表示），不必证明11（2011哈尔滨）已知： ABC 中，BC=2AC，DBC=ACB，BD=BC，CD 交线段 AB 于点 E（1）如图 1，当ACB=90时，则线段 DE、CE 之间的数量关系?（2）如图 2，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于 G DKG DBG 关于直线 DG 对称（点 B 的对称点是点 K，延长 DK 交 AB 于点 H若 BH=10，求 CE 的长12（2012长春）如图，在 ABC 中，ACB=90，AC=8cm，BC=4cmD、E 分别为边 AB、BC 的中点，连接 DE点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DE-EB 运动，到点 B 停止点 P 在线段 AD 上以 1/5cm/s 的速度运动，在折线 DE-EB 上以 1cm/s 的速度运动当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQAC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 在线段 AQ 上设 点 P 的运动时间为 t（s）（1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为 cm（用含 t 的代数式表示） （2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值（3）当正方形 PQMN ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm ）， 求 S 与 t 的函数关系式（4）连接 CD，当点 N 与点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 2.5cm/s的速度沿 M-N-M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终在线段 MN 的中点处，直接写出在点 P 的整个运动过程中， 点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围13.（2012哈尔滨）已知： ABC 中，ACB=90，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂线，交 BP 的延长线于点 M，MNAC 于点 N，PQAB 于点 Q，AQ=MN （1）如图 1，求证：PC=AN；（2）如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连 接 DK，DKE=ABC，EFPM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求 DQ 的长14.（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到， 如下是一个案例，请补充完整原题：如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G若 AF/EF=3，求 CD/CG 的值（1）尝试探究在图 1 中，过点 E 作 EHAB 交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是. CD/CG 的值是 （2）类比延伸,如图2，在原题的条件下，若 AF/EF=m（m0），则 CD/CG 的值是 （用 含有 m 的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形 ABCD 中，DCAB，点 E 是 BC 的延长线上的一点，AE 和 BD 相交于点 F若AB/CD=a，BC/BE=b，（a0，b0），则 AF/EF 的值是 （用含 a、b 的代数式表示）