111集合的含义与表示二:学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系;2能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问 题，感受集合语言的意义和作用；探究学习探探索新知探究1：观察下列实例： 120以内所有的质数；2014年参加世界杯的国家；所有的锐角三角形；x2, 3x + 2, 5y3 -x , x2 + y2 ;淄博市实验高一级的全体学生；方程x2 + 3x = 0的所有实数根;张店区2014年参加中考的所有同学； 中华人民共和国境内的四大高原试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象?新知1： 一般地，把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫 做集合（set）.探究2： “好心的人”与“ 1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的三大特征 确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集 合的元素，或者不是该集合的元素。如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。“数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一 个元素。如：student中的字母构成的集合中两个“t”只写一次。 无序性：集合中的元素没有顺序限制。集合1, 2与2, 1是一样的。 定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合【练习】1. 下列对象能否组成集合并说明理由：（1）数字 1、2、5、7；（2）到定点的距离等于定长的所有点;满足3x - 2 x + 3的全体实数；（4）未来世界的高科技产品；成的集合相等，求a, b(5) 所有绝对值小于3的整数；(6) 中国男子足球队中技术很差的队 员；(7) 2014年参加山东夏季高考的学 生；12. 由，0.5， 0.5，-0.5 组成的 2集合有个元素。3.由1，a2，b组成的集合与由1,2,a组新知3：元素与集合的关系： 集合通常用大写的拉丁字母A,B,C ,表示，集合的元素用小写的拉丁字母a, b, c,表示.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：a e A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作：a gA.注：符号“e”和“纟”只用于表示元素与集合之间的关系；“e”和“纟” 具有方向性，左边是元素，右边是集合。【练习】设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5B,0.5_B，0B,-1B.新知4：常见数集的表示非负整数集(自然数集)：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N ；+整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q； 实数集：全体实数的集合，记作R.【练习1】下列关系中，正确的个数为( )1-e R V2 g Q |-3| e N 74 e ZA. 1B.2C.3D.4【练习2】下列结论中，不正确的是( )A. 若a e N,则-a g NB. 若a e乙贝la2 e ZC. 若a e Q,则 |a| e QD. 若 a e R,则 3a e R【练习3】填e或g： 0N，0R,3.7N，3.7Z，运Q，3 -迈 _R.二、集合的表示方法：1、列举法：把集合的元素列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合 的方法。注：(1)用列举法表示集合时，元素间用“，”隔开；(2)对于有限集，在元素 不太多时，宜用列举法表示；(3)对于元素较多的有限集或无限集，一般不采用 列举法，但当元素有一定规律时也可用列举法表示，需将规律表示清楚后再用“”表示。如从51到100的所有整数组成的集合：51, 52，53,：1002、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:所有奇数的集合A = x|x = 2k +1,k e Z，不等式x-7 3的解集B = x|x 10 注：写清集合的代表元素；集合的元素与其所采用的字母无关，只与集合中 元素的共同特征有关；所有描述的内容都要写在花括号内；在不引起混淆的 情况下，元素的取值范围常常省略。3、Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。常用圆、 椭圆、正方形、长方形等表示集合。【练习】1、用列举法表示下列集合：能被3整除的整数的集合(5)平面直角坐标系中第二、四象限点 的集合；(1) 15以内的质数；(2) 方程x(x2-1) = 0的所有实数根组 成的集合；(3) 能被3整除且大于4小于15的 自然数组成的集合；(4) 一次函数y = x与y = 2x-1的图象 的交点组成的集合.(5) 小于1000的所有自然数组成的 集合2、用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有非负整数的集合;(2)方程2x + y二5的解集；x轴上所有点的集合；(6) 1，3，5，7,(7) 非负偶数的集合3、用描述法分别表示下列集合(1)抛物线y = x 2上的点的集合;抛物线y = x 2上点的横坐标的集合抛物线y = x 2上点的纵坐标的集合【注意】(1)对某一具体的集合而言， 其表示方法并不是唯一的；(2)表示集 合时，花括号内不用写“所有”二字, 因为花括号本身就有“全部” “所有”的意思。典例精析例1:下列说法正确的是（）【方法技巧】（1）考察一组对象是否A. 数学成绩较好的同学可以组成一个 集合B. 所有绝对值接近于零的数可以组成 一个集合C. 集合1,2,3和3,2,1表示同一个 集合1 2 4D. 1, 0.5,组成一个含有5个2 3 6元素的集合例 2：若集合A = a 3,2a 1,a2 4, 且3 g A,求实数a的值。能组成一个集合，关键是看这组对象 是否具备确定无疑的具体特征（或标 准），即确定性。（2）集合元素的互异 性常隐形考查，相同的元素在一个集 合中只能算作一个元素。【方法技巧】运用分来讨论的思想， 分类讨论是一种重要的数学思想，也 是一种重要的数学方法。例 3 : 定义集合运算 A * B = z|z = xy( x + y), x g A, y g B ， 设集合A =0,1, B = 2,3,则集合 A * B的所有元素之和为()A.0B.6C.12D.18【方法技巧】与集合有关的创新题主 要以集合的表示方法和元素与集合的 关系为背景，经常是给出新的定义， 依据新背景或新定义，借助于集合的 含义与表示和元素与集合的关系来解 决问题。1下面四个命题正确的是（）A. 10以内的质数集合是0,3,5,7B. “个子较高的人”不能构成集合C. 方程x2 2x +1 = 0的解集是1,1D. 偶数集为x|x = 2k, x g N2.已知集合S = A,B,C中三个元素是 ABC的三个边长，那么口 ABC 一定不 是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形C. 钝角三角形 D.等腰三角形3. 已知集合A二1,2,3,4,5, B = （x,y） x g A, y g A,x y g A ，贝V B 中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.104. 直线y = 2x + 3上的点的集合为P ,则 P =。点(2, 7)与P的关系为(2, 7)P5. 集合 A = x|8 x 12,xe N，用列举法可表示为6. 已知集合 A = (x,y)|y = 2x-1， B = (x, y)|y = x + 3， a e A, a e B，求 a。9.已知集合 A = x, x +1,1， B = x,x + x2,x2，且 A = B ,求实数x。10.已知集合A = x eR3 a 2xb0= x,7. 用列举法和描述法分别表示下列集 合.（1）方程x3 + 4x = 0的所有实数根组成 的集合；（2）所有奇数组成的集合.若A中不含有任何元素，求a的取 值范围； 若A中只有一个元素，求a的值， 并把这个元素写出来；若A中至多有一个元素，求a的取 值范围。8. 已 知 集 合M = -2,3 x2 + 3x 4, x2 + x 4， 右2 e M ,求满足条件的x组成的集合。112集合间的基本关系一学习目标1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.探究学习思考1：类比实数的大小关系，如57, 2W2，试想集合间是否有类似的“大小” 关系呢？思考2：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：A = 3,6,9与 B = x I x = 3k,k e N*且 333；C = 东升高中学生与D = 东升高中高一学生；E = x I x(x l)(x 2) = 0与 F = 0,1,2 新知：子集、相等、真子集、空集的概念.1、子集：一般地，对于两个集合a,b，如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有关系，称集合A是集合B的(subset)，记作：，读作：A含于B，或B包含A.当集合A不包含于集合B时，记作A B .用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：2、 集合相等：若A匸B且B匸A，则A与B中的元素是一样的，因此3、 真子集:若集合A匸B，存在元素x e B且x电A，则称集合A是集合B的，记作：，读作：A真包含于B (或B真包含A) 【拓展】(1)两个集合间的“包含”关系包括“真包含”与“相等”两种，可类 比两个实数间的大小关系。(2)要注意“ e ”和“匸”的区别，“ e ”只用于元 素与集合之间，“U”用于集合与集合之间。4、 空集：不含有任何元素的集合称为（empty set）,记作：例如，x x2 +1 = 0 = 0 , x|ax +1 = 0,a = 0 = 0。并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5、常用结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A匸A。（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。对于集合A, B, C,如果A匸B , B匸C,那么A匸C。 【练习】1、用适当的符号填空.（1） a,ba,b,c，aa,b,c；（2）0xIx2 + 3 = 0，0_R;（3） N0,1，QN；（4） 0xI x2 -x = 0.2、已知 M = 1,2,3, 4,