实用文案同步讲台第 5 课 空间的距离 考点搜索1. 点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这点到这条直线的距离.2. 点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3. 两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离.4. 两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.5. 直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.6. 两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 实例点津【例 1】如图，在空间四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a， E、 F 分别是 AB、 CD的中点 .(1) 求证： EF是 AB和 CD的公垂线；(2) 求 AB和 CD间的距离；(3) 求 EF和 AC所成角的大小 .【解答】 (1)证明：连结，由已知可得= .AFBFAF BF又因为 AE=BE，所以 FEAB交 AB于 E.同理 EF DC交 DC于点 F.所以EF是AB和的公垂线 .CD(2) 在 Rt 中， =3a,=1a,例 1题图BEFBF2BE2所以2=2-2=1 2，即 =2.EF BFBEaEF2a2由 (1) 知 EF是 AB、 CD的公垂线段，所以AB和 CD间的距离为2 a .2(3) 过 E 点作 EG AC交 BC于 G，因为 E 为 AB的中点，所以 G为 BC的中点 . 所以 FEG即为异面直线EF和 AC所成的角 .在 FEG中， EF=2 a , EG= 1 a , FG= 1 a ,222cos FEG= EF 2EG 2FG 22 .2 EFEG2所以 FEG=45标准文档实用文案所以异面直线与所成的角为 45EFAC【归纳】本题考查平面及其基本性质. 平面图形直观图的画法、平行直线、异面直线所成的角，异面直线的公垂线和异面直线的距离等知识的综合应用.【例2】菱形 ABCD中， BAD=60 , AB=10 cm, PA平面 ABCD,且 PA 5 cm, 求 (1) P到的距离；（ 2）P到的距离；（ 3）P到的距离 .CDBDAD【点津】如图 , 因为 A 是 P 在平面 ABCD上的射影，所以只要过点A 在平面 ABCD内分别作 CD、BD的垂线，确定垂足的位置，由三垂线定理和勾股定理，求得点P 到 CD、BD的距离.【解答】（ 1） PA平面 ABCD，点P在平面上的射影为，过A在平面内作于EABCDAABCDAECD( ADC=120， E 在 CD的延长线上 ).连 PE，由三垂线定理得PE CD.线段 PE之长就是 P 到 CD的距离 .在 Rt ADE中， AE 5 3 cm在 Rt PAE中， PE=10cm , P 到 CD的距离为 10cm .例 2题图(2) 连 AC、 BD，交点为 O， ACBD, PO BD, 线段 PO之长就是 P 到 BD的距离，易知PO 10cm.() 平面,平面，PAABCDADABCD PAAD.故线段 PA之长就是 P 到 AD的距离， PA 5cm.【归纳】 求点到直线的距离， 除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法.【例 3】如图 (1),正四面体 ABCD的棱长为1，求：（ 1）A 到平面 BCD的距离；（ 2）异面直线 AB、 CD之间的距离 .【解答】（ 1）过 A 作 AO平面 BCD于 O，连 BO并延长与 CD相交于 E，连 AE. AB=AC=AD, OB=OC=OD. O是 BCD的外心 .又 BD BC CD，例3题图（1） O是 BCD的中心，BO= 2 BE= 233.3323又 AB 1，且 AOB=90,2AO= AB2BO 2136 .3 3 A 到平面 BCD的距离是 6 .3(2) 如图（ 2） , 设 AB中点为 E，连 CE、 ED.标准文档实用文案AC=BC, AE=EB. CDAB. 同理 DE AB. AB平面 CED.设 CD的中点为 F, 连 EF，则 AB EF.同理可证 CD EF. EF是异面直线AB、 CD的距离 . CE= 3, 2 CF=FD= 1例3题图（2）, EFC=90,222EF=312 .222 AB、CD的距离是 2 . 2【归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（ 1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（ 2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离 .（ 3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.【例 4】在梯形中 , , =, =,=3且=arcsin5 , 又PAABCDAD BCABCAB a AD aADC52平面 ABCD,PA=a, 求：(1) 二面角 P CD A 的大小 ;(2) 点 A 到平面 PBC的距离 .【解答】(1)作 AF DC于 F, 连结 PF, AP平面 ABCD,AF DC, PFDC, PFA就是二面角P CD A 的平面角 .在 ADF中 , AFD=90 , ADF=arcsin5 , AD=3a,5 AF= 3a ,5在 Rt PAF中 tan PFA= PAa 55 ,AF3a3 PFA=arc tan5 .3(2) PA平面 ABCD, PA BC, 又 BC AB, BC平面 PAB,作 AH PB, 则 BCAH, AH平面 PBC, PA AB, PA=AB=a, PB= 2 a,标准文档实用文案 AH= 2 a . 2【归纳】利用定义法求点到平面的距离常常需借助三垂线定理及其逆定理. 对应训练一、选择题1. 把边长为 a 的正 ABC沿高线 AD折成 60的二面角， 则点 A到 BC的距离是()A. aB.6 aC.3 aD.15 a2342. ABC中， AB=9， AC=15， BAC=120 . ABC所在平面外一点 P 到三个顶点 A、B、C的距离都是14，那么点P 到平面的距离为()A.7B.9C.11D.133. 从平面外一点P 向引两条斜线PA, PB. A, B 为斜足 , 它们与所成角的差是 45 ,它们在内的射影长分别是2cm和 12cm , 则 P 到的距离是( )A.4cmB.3cm或 4cmC.6cmD.4cm或 6cm4. 空间四点、 、 、中，每两点所连线段的长都等于，动点P在线段上，动点A BCDaABQ在线段 CD上，则 P 与 Q的最短距离为()A. 1 aB.2 aC.3 aD.a2225. 在四面体 PABC中，PA、PB、PC两两垂直 . M是面 ABC内一点， 且点 M到三个面 PAB、的距离分别为2、 3、 6，则点到顶点P的距离是 ( )PBC PCAMA.7B.8C.9D.106. 如图，将锐角为60，边长为 a 的菱形 ABCD沿较短的对角线折成60的二面角， 则AC与 BD的距离是()A. 3 aB.3 aC.3 aD.6 a4424